Thuật toán nhanh nhất để tính thứ hạng của ma trận hình chữ nhật là gì?

Cho một ma trận (giả sử m ≥ n ), thuật toán nhanh nhất để tính thứ hạng và cơ sở của các cột là gì?$m \times n$$m \ge n$

Tôi biết rằng nó có thể được giải quyết thông qua giao tuyến matroid tuyến tính, trong đó ngụ ý thuật toán xác định thời gian và thuật toán ngẫu nhiên thời gian O ( m n ω - 1 ) . Có một thuật toán xác định thời gian O ( m n ω - 1 ) trực tiếp làm giảm trực tiếp vấn đề (hoặc loại bỏ Gaussian) để nhân ma trận không?$O(mn^{1.62})$$O(mn^{\omega-1})$$O(mn^{\omega-1})$

Bạn có thể mang -matrix thành dạng vang trong thời gian O ( n ω $2n \times n$cho bất kỳε>0. Xem cuốn sách "Lý thuyết phức tạp đại số" của Bürgisser, Clausen, Shokrollahi, Phần 16.5.$O(n^{\omega + \epsilon})$$\epsilon > 0$

Bây giờ bạn áp dụng quy trình này lần cho m × n -matrix của bạn. Điều này đưa ra một thuật toán với $m/n$$m \times n$phép toán số học ( m n ω - 1 ) .$O(mn^{\omega-1})$

Nếu bạn mang một -matrix ở dạng vang, thì nó sẽ chứa một ma trận không có kích thước n × n sau đó. Bạn lấy phần còn lại n × n -matrix, thêm một mới n × n -block của ma trận đầu vào của bạn và mang lại điều này để hình thành bậc thang và vân vân.$2n \times n$$n \times n$$n \times n$$n \times n$