Cấu trúc chung nhất mà xác minh sản phẩm ma trận có thể được thực hiện trong thời gian

Năm 1979, Freivalds đã chỉ ra rằng việc xác minh các sản phẩm ma trận trên bất kỳ trường nào có thể được thực hiện trong thời gian ngẫu nhiên . Chính thức hơn, với ba ma trận A, B và C, với các mục từ một trường F, vấn đề kiểm tra xem AB = C có thuật toán thời gian ngẫu nhiên không .$O(n^2)$$O(n^2)$

Điều này rất thú vị vì thuật toán được biết đến nhanh nhất để nhân ma trận chậm hơn tốc độ này, vì vậy hãy kiểm tra xem AB = C có nhanh hơn máy tính C.

Tôi muốn biết cấu trúc đại số tổng quát nhất trong đó xác minh sản phẩm ma trận vẫn có thuật toán thời gian (ngẫu nhiên). Vì thuật toán ban đầu hoạt động trên tất cả các trường, tôi đoán nó cũng hoạt động trên tất cả các miền tích phân.$O(n^2)$

Câu trả lời tốt nhất tôi có thể tìm thấy cho câu hỏi này là trong các vấn đề tương đương Subcubic giữa các vấn đề về đường dẫn, ma trận và tam giác , trong đó họ nói rằng "xác minh sản phẩm ma trận qua các vòng có thể được thực hiện trong thời gian ngẫu nhiên [BK95]." ([BK95]: M. Blum và S. Kannan. Thiết kế các chương trình kiểm tra công việc của họ. J. ACM, 42 (1): 269 Móc291, 1995.)$O(n^2)$

Đầu tiên, các vòng có cấu trúc chung nhất mà vấn đề này có thuật toán ngẫu nhiên không? Thứ hai, tôi không thể thấy kết quả của [BK95] hiển thị thuật toán thời gian trên tất cả các vòng. Ai đó có thể giải thích làm thế nào mà làm việc?O ( n 2$O(n^2)$$O(n^2)$

Đây là một lý lẽ nhanh chóng cho lý do tại sao nó hoạt động trên nhẫn. Cho ma trận , B , C , chúng tôi xác minh A B = C bằng cách chọn một vectơ bit ngẫu nhiên v , sau đó kiểm tra xem A B v = C v . Đây đi rõ ràng nếu A B = C .$A$$B$$C$$A B = C$$v$$ABv = Cv$$AB = C$

Giả sử và A B v = C v . Hãy D = A B - C . D là một ma trận khác không mà D v = 0 . Xác suất mà điều này xảy ra là gì? Hãy D [ i ' , j ' ] là một entry khác không. Theo giả định, ∑ j D [ i ′ , j ] v [ j ] = $AB \neq C$$ABv = Cv$$D = AB - C$$D$$Dv = 0$$D[i',j']$$\sum_{j} D[i',j] v[j] = 0$. Với xác suất , v [ j ' ] = 1 , vì vậy chúng tôi có$1/2$$v[j'] = 1$

.$D[i',j'] + \sum_{j\neq j'} D[i',j] v[j] = 0$

Bất kỳ chiếc nhẫn đang hoạt động bổ sung của nó là một nhóm phụ gia, do đó là một nghịch đảo độc đáo của , ví dụ: - D [ i ' , j ' ] . Bây giờ, xác suất của sự kiện xấu - D [ i ' , j ' ] = Σ j ≠ j ' D [ i ' , j ] v [ j ] là tại hầu hết 1 /$D[i',j']$$-D[i',j']$$-D[i',j'] = \sum_{j\neq j'} D[i',j] v[j]$$1/2$. (Một cách để xem đây là "nguyên tắc quyết định hoãn lại": để tổng để bình đẳng , ít nhất một khác D [ i ' , j ] phải khác không Vì vậy, xem xét. v [ j ] tương ứng với các mục nhập khác này. Ngay cả khi chúng tôi đặt tất cả các mục này của v [ j ] ngoại trừ một trong số chúng một cách tối ưu , vẫn có xác suất tương đương cho lần cuối là 0 hoặc $-D[i',j']$$D[i',j]$$v[j]$$v[j]$$0$$1$, Nhưng vẫn chỉ là một trong những giá trị này có thể làm cho số tiền cuối cùng bằng để .) Vì vậy, với xác suất ít nhất 1 / 4 , chúng tôi thành công thấy rằng D v ≠ 0 , khi D là khác không. (Lưu ý v [ j ] và v [ j ' ] được lựa chọn một cách độc lập cho j ≠ j ' .)$-D[i',j']$$1/4$$Dv \neq 0$$D$$v[j]$$v[j']$$j \neq j'$

Như bạn thấy, đối số trên phụ thuộc vào phép trừ. Vì vậy, nó sẽ không hoạt động (ví dụ) trên các bán kết giao hoán tùy ý. Có lẽ bạn có thể thư giãn các tính chất nhân của cấu trúc đại số, và vẫn nhận được kết quả?