Mất cân bằng tối đa trong đồ thị?

Hãy để là một đồ thị kết nối với các nút và cạnh . Đặt biểu thị trọng số (số nguyên) của đồ thị , với tổng trọng số trong biểu đồ. Trọng lượng trung bình trên mỗi nút sau đó là . Đặt biểu thị độ lệch của nút so với giá trị trung bình. Chúng tôi gọisự mất cân bằng của nút .$G$$G = (V,E)$$V = 1 \dots n$$E$$w_i$$G$$\sum_i w_i = m$$\bar w = m/n$$e_i = w_i - \bar w$$i$$|e_i|$$i$

Giả sử rằng trọng số giữa hai nút liền kề bất kỳ có thể khác nhau nhiều nhất là , tức là $1$

Câu hỏi : Mất cân bằng lớn nhất có thể có của mạng, về và gì? Để chính xác hơn, hãy hình dung vectơ . Tôi sẽ hài lòng như nhau với các kết quả liên quan đến hoặc .$n$$m$$\vec{e} = (e_1, \dots, e_n)$$||\vec{e}||_1$$||\vec{e}||_2$

Với , có thể tìm thấy một ràng buộc đơn giản về đường kính đồ thị: Vì tất cả phải tổng bằng 0, nếu có dương lớn , phải có một âm ở đâu đó . Do đó, sự khác biệt của họít nhất là, nhưng sự khác biệt này có thể là khoảng cách ngắn nhất giữa các nút và , lần lượt có thể nhiều nhất là đường kính đồ thị.$||\vec{e}||_\infty$$e_i$$e_i$$e_j$$|e_i - e_j|$$|e_i|$$i$$j$

Tôi quan tâm đến giới hạn mạnh hơn, tốt nhất là cho - hoặc -orm. Tôi cho rằng nó nên liên quan đến một số lý thuyết đồ thị phổ để phản ánh sự kết nối của đồ thị. Tôi đã cố gắng thể hiện nó như là một vấn đề dòng chảy tối đa, nhưng không có kết quả.$1$$2$

EDIT: Giải thích thêm. Tôi quan tâm đến - hoặc -orm vì chúng phản ánh chính xác hơn sự mất cân bằng. Một mối quan hệ tầm thường sẽ được lấy từ , và . Tuy nhiên, tôi hy vọng rằng do tính kết nối của biểu đồ và ràng buộc của tôi về sự khác biệt của tải giữa các nút liền kề, rằng - và -orms nên nhỏ hơn nhiều.2 | | → e | | 1 ≤ n | | | → e | | ∞ | | → e | | 2 ≤ $1$$2$$||\vec{e}||_1 \leq n|||\vec{e}||_\infty$1$||\vec{e}||_2 \leq \sqrt{n}||\vec{e}||_\infty$$1$$2$

Ví dụ: Hypercube có kích thước d, với . Nó có đường kính . Sự mất cân bằng tối đa sau đó nhiều nhất là . Điều này gợi ý như là một giới hạn trên cho -norm . Cho đến nay, tôi đã không thể xây dựng một tình huống mà điều này thực sự thu được, điều tốt nhất tôi có thể làm là một cái gì đó dọc theo dòng , trong đó tôi nhúng một chu kỳ vào Hypercube và có các nút có sự mất cân bằng , , , , v.v ... Vì vậy, ở đây giới hạn bị tắt bởi hệ số d = log 2 ( n ) d 1 n d = n log 2 ( n ) | | → e | | 1 = n / 2 0 1 0 - 1 log ( n $n = 2^d$$d = \log_2(n)$$d$$1$$nd = n\log_2(n)$$||\vec{e}||_1 = n/2$$0$$1$$0$$-1$$\log(n)$, mà tôi cho rằng đã quá nhiều, vì tôi đang tìm kiếm giới hạn chặt chẽ (không có triệu chứng).

Kể từ được bao bọc bởi đường kính d , các ℓ 1 chuẩn mực sẽ được trivially giáp n d , tương tự như vậy cho ℓ 2 tiêu chuẩn, ngoại trừ bởi $|e_i|$$d$$\ell_1$$nd$$\ell_2$(trong thực tế,định mứcℓpđược giới hạn bởin 1 / p d).$\sqrt{n}d$$\ell_p$$n^{1/p}d$

Các trường hợp hóa ra là đáng ngạc nhiên dễ phân tích.$\ell_1$

$\|\vec e\|_1$$O(n^2)$$O(nd)$

Đối với cây -ary hoàn chỉnh , bạn có thể chia nó thành một nửa ở gốc, đặt , tăng dần về một phía và giảm dần sang bên kia cho đến khi các lá có , tạo lại .$k$$w_{\text{root}} = 0$$|e_i| = |w_i| = \log_k n$$O(n\log_k n) = O(nd)$

Đối với một nhóm, thực sự không quan trọng bằng cách bạn phân phối các trọng số, vì tất cả chúng sẽ nằm trong phạm vi của nhau và điều đó sẽ mang lại .$1$$O(n) = O(nd)$

Khi bạn nhận ra rằng những gì chúng ta đang nói ở đây là một hàm , và sau đó chúng ta sẽ sử dụng thông thường, miễn là bạn có thể phân phối trọng số cách đồng đều trên phạm vi, giới hạn sẽ là .$e : \mathbb{Z} \to [-d/2,d/2] \subset \mathbb{R}$$\ell_1$$e_i \in [-d/2,d/2]$$O(nd)$

Cách duy nhất để thay đổi điều này là chơi các trò chơi với số đông. Chẳng hạn, nếu bạn có một số cụm khổng lồ tại các điểm nhất thiết phải cân bằng, giống như một cụm khổng lồ với hai đường có chiều dài bằng nhau nhô ra khỏi nó, thì bạn có thể tin tưởng vào một giới hạn chỉ (ví dụ) .$O(d^2)$

Điều này có thể đúng với các nhà mở rộng ở một mức độ nào đó, nhưng tôi không chắc chắn. Tôi có thể tưởng tượng một trường hợp bạn đặt trong biểu đồ thông thường và sau đó để các giá trị tăng sau đó từ mỗi bước nhảy. Có vẻ như giá trị trung bình có thể có khối lượng lớn nhất, nhưng tôi không biết liệu nó có đủ để ảnh hưởng đến giới hạn không.$w_1 = 0$

Tôi nghĩ rằng bạn có thể lý do tương tự về .$\ell_2$

BIÊN TẬP:

Trong các bình luận, chúng tôi đã tìm ra một (lỏng) ràng buộc của bằng cách sử dụng các ràng buộc của vấn đề và một số lý thuyết đồ thị phổ cơ bản.$\ell_2$$O(|E|/\lambda_2(L))$

Đối với các biểu đồ được kết nối, sự mất cân bằng được giới hạn trên bởi đường kính của biểu đồ. Để ràng buộc sự mất cân bằng , chúng ta có thể viết lại từng dưới dạng trong đó là con đường ngắn nhất từ đến . Xác định . Chúng ta có thể viết $|w_i - 1/n\sum_k w_k|$$w_k$$w_k - v_1 + v_1 - v_2 + v_2 - ... - v_k + v_k - w_i + w_i$$w_k, v_1,...,v_k, w_i$$w_i$$w_k$$w_{ki} = w_k - v_1 + v_1 - v_2 + v_2 - ... - v_k + v_k - w_i$

Mỗi đang bị chặn trên bởi chiều dài của con đường đi ngắn nhất từ đến theo giả thiết của bạn mà cho mỗi . Do đó, chúng ta có được ràng buộc tầm thường: $w_{ki}$$i$$k$$w_i - w_j \leq 1$$i,j\in E$

Điều này có thể không thực sự quá xa tối ưu. Tôi đang nghĩ về một cây -ary hoàn chỉnh trong đó các nút ở mỗi cấp có trọng số cao hơn trọng lượng của cấp trước đó. Một phần lớn của biểu đồ có trọng số cao nhất, . Vì vậy, trung bình nên được nghiêng về phía trên. Như và có được lớn hơn, tôi mong đợi để có được gần gũi hơn và gần gũi hơn với có nghĩa là sự mất cân bằng sẽ nhận được gần hơn và gần gũi hơn với .D + $k$$D+1$$k$$n$$m$$D+1$$D$