Khả năng thanh toán của ma trận

Ma trận có thứ nguyên . Chúng tôi muốn điền bằng cách sử dụng các số nguyên từ đến , bao gồm. $A$ $n \times n(n-1)$ $A$ $1$ $n$

Yêu cầu:

Mỗi cột của là một hoán vị của . $A$ $1, \dots, n$
Bất kỳ hàm con nào được tạo bởi hai hàng không thể có các cột giống hệt nhau. $A$

Câu hỏi:

Có thể điền vào ma trận thỏa mãn các yêu cầu?

Liên quan đến mật mã:

Mỗi số hàng tương ứng với một bản rõ. Mỗi cột tương ứng với một khóa. Vì một khóa xác định một phép tiêm, mỗi cột phải là một hoán vị. Yêu cầu thứ hai là bảo mật hoàn hảo cho hai tin nhắn.

co.combinatorics cr.crypto-security coding-theory

— Cyker
nguồn

Cho rằng bạn đã gắn thẻ này với cr.crypto-security, nó sẽ cải thiện câu hỏi nếu bạn có thể nói nó liên quan đến tiền điện tử / bảo mật như thế nào.

— Dave Clarke

Quan sát đơn giản: Ma trận như vậy tồn tại cho n≤4. Đối với n≤3, lấy tất cả các hoán vị. Với n = 4, các giải pháp duy nhất là lấy tất cả các hoán vị chẵn hoặc tất cả các hoán vị lẻ.

— Tsuyoshi Ito

Cảm ơn, Ito. Thật ra tôi đã đưa ra câu trả lời khi

bằng tay. Nhưng mọi thứ trở nên khó khăn khi nhiều

. Vụ nổ theo cấp số nhân xảy ra.

n \leq 4

$n \leq 4$

n \geq 5

$n \geq 5$

— Cyker

(1) Tôi nghĩ rằng vấn đề liên quan đến lý thuyết mã hóa và thêm nó dưới dạng thẻ. (2) Một quan sát khác: Vấn đề có thể được nêu ra như sau. Tìm một ma trận B có kích thước n × (n ^ 2) sao cho mỗi n cột đầu tiên của B là n lặp lại của cùng một số và sao cho B thỏa mãn điều kiện 2 trong câu hỏi. Nếu B tồn tại, thì mỗi cột n (n − 1) cuối cùng của B phải là một hoán vị. Ngược lại, bất kỳ ma trận A nào thỏa mãn điều kiện 1 và 2 đều có thể được chuyển đổi thành ma trận B bằng cách gắn n cột đã nêu ở bên trái của A.

— Tsuyoshi Ito

Câu trả lời:

Tsuyoshi, quan sát tuyệt vời trong bình luận của bạn! Tôi nghĩ rằng điều này gần như giải quyết vấn đề.

Hãy xem xét hai câu hỏi sau đây

Có tồn tại hàng có độ dài sao cho không có số nào xuất hiện hai lần trong bất kỳ cột nào và đối với mỗi cặp hàng, tất cả các cặp theo thứ tự được cung cấp bởi các cột là khác biệt? $k$ $n(n-1)$
Có tồn tại hàng có độ dài sao cho với mỗi cặp hàng, tất cả các cặp theo thứ tự được cung cấp bởi các cột là khác nhau? $k$ $n^2$

$k$ $k$ $k$ $k-1$

$1$ $n$ $\lbrace 1, 2, \ldots, n \rbrace$ $k-1$ $n$ $k-1$

$k$ $n^2$ $k-2$ $3$ $4$ $\ldots$ $k$ $j$ $i$ $j$ $i$

$n$ $n$ $n-2$ $n$ $n=6$ $k$ $k=\Omega(n^c)$ $c$ $1$

$n=6$ $k$ $6\times 6$ $n=10$ $k=4$

— Peter Shor
nguồn

n - 2

$n - 2$

n

$n$

n - 1

$n - 1$

n

$n$

n

$n$

n - 1

$n - 1$

n = 6

$n = 6$

Đây là một kết nối rất tốt đẹp. Cảm ơn câu trả lời! Một điểm nhỏ: Theo Wikipedia, người ta biết rằng n − 1 hình vuông Latin trực giao tồn tại cho n lũy thừa, không chỉ cho n số nguyên tố.

— Tsuyoshi Ito

@Tsuyoshi - Rất tiếc. Tôi biết rằng; Tôi chỉ nói sai thôi. Việc xây dựng đến từ các lĩnh vực hữu hạn. Cảm ơn vì sự đúng đắn của bạn. Sửa nó ngay.

— Peter Shor

Tôi đoán vậy. :)

— Tsuyoshi Ito

Đây là một giải pháp một phần. Một ma trận như vậy tồn tại nếu n là một lũy thừa.

Gọi F là trường hữu hạn của bậc n . Chúng tôi xây dựng ma trận n × n ( n −1) có các hàng được gắn nhãn bởi F , có các cột được gắn nhãn bởi ( F ∖ {0}) × F và có các mục nhập nằm trong F như sau: hàng thứ i của cột có nhãn ( a , b ) được cho bởi ai + b . Nói một cách, mỗi cột tương ứng với một mức độ-một đa thức trong F . Sau đó, mỗi cột chứa từng phần tử của F chính xác một lần và không có hai cột nào có các mục bằng nhau trong nhiều hơn một hàng vì các giá trị của hai đa thức bậc một khác biệt có thể trùng khớp tối đa tại một điểm.

(Nếu bạn muốn một ma trận có các mục nhập nằm trong {1, Rò, n } thay vì trong F , hãy thay thế các phần tử của F bằng {1, Lỗi, n } một cách tùy ý.)

— Tsuyoshi Ito
nguồn

n + 1

$n + 1$

@Artem: Có thể, đặc biệt được đưa ra câu trả lời của Peter kết nối câu hỏi này với các hình vuông Latin trực giao. (Tuyên bố miễn trừ trách nhiệm: theo quan điểm không phải là chuyên gia của tôi, các hình vuông Latin trực giao, MUB, thiết kế kết hợp, thiết kế đơn nhất và SIC-POVM gần như không thể phân biệt được.)

— Tsuyoshi Ito

Rất cám ơn, Ito! Thiết kế này trông thực sự đẹp!

— Cyker