Căn cứ Gröbner trong TCS?

Có ai biết ứng dụng thú vị của các cơ sở Gröbner cho khoa học máy tính lý thuyết không?

Các cơ sở Gröbner được sử dụng để giải các phương trình đa thức đa biến, một bài toán NP-hard nói chung. Tôi đã tự hỏi liệu một số trường hợp đặc biệt có thể điều khiển được sử dụng để cung cấp các thuật toán / công trình / bằng chứng hiệu quả trong các lĩnh vực liên quan đến TCS hoặc TCS (tổ hợp, lý thuyết mã hóa).

Tính toán cơ sở của Gröbner, trong khi nói chung hoàn thành EXPSPACE, nằm trong PSPACE trên các vòng Boolean. Điều này có các ứng dụng trong kiểm tra mô hình để thay thế các BDD: Quốc-Nam Trần, "Thuật toán PSPACE cho tính toán cơ sở Groebner trong các vòng Boolean", Proc. WASET, Tập. 35, tháng 11 năm 2008, ISSN 2070-3740

[LƯU Ý] Kết quả cho thấy tính toán cơ sở Groebner trong PSPACE trên các vòng Boolean có vẻ sai, xem Mark van Hoeij, cơ sở Gröbner trong các vòng Boolean không phải là P-SPACE , arXiv: 1502.07220 , 2015.

[LƯU Ý] Khiếu nại rằng kết quả nêu rõ tính toán cơ sở Groebner là trong PSPACE trên các vòng Boolean có vẻ sai, là sai. Tác giả nhầm lẫn khả năng tính toán PSPACE với kích thước đa thức. Một hàm PSPACE có thể có đầu ra dài theo cấp số nhân.

Có một khối lượng Springer thú vị trên các ứng dụng của các cơ sở Gröbner về mã hóa và mật mã:

• Các cơ sở, mã hóa và mật mã của Gröbner , / Sala, M.; Mora, T.; Con chồn, L.; Sakata, S.; Traverso, C. (biên soạn).

Cá nhân tôi đang thực hiện nghiên cứu về các thuật toán tính toán lý tưởng của đa thức định vị lỗi (khái niệm khá nổi tiếng trong lý thuyết mã hóa, đặc biệt là giải mã hội chứng). Trong trường hợp mã từ định vị lỗi hình học đại số, lý tưởng thường là lý tưởng của đa thức từ một số biến - đó là nơi, nơi Gröbner Bases đóng vai trò trung tâm. Trong phần nói trên, phần thú vị nhất đối với tôi là phần mô tả thuật toán BMS của S. Sakata và một khảo sát về các ứng dụng của nó để giải mã các mã hình học đại số.

Chỉ nghe trong hội thảo 8F

Bằng chứng ban đầu cho thấy mã hóa mạng có thể được thực hiện trong mạng lưu lượng sử dụng các cơ sở Gröbner.

Các cơ sở Gröbner đã được áp dụng cho các vấn đề thỏa mãn ràng buộc (xem tài trợ này ). Tại thời điểm này, các kỹ thuật cơ bản của Gröbner dường như không hữu ích cho các ứng dụng của sự thỏa mãn ràng buộc, vì chúng đang cạnh tranh với các heuristic tìm kiếm trưởng thành, các kỹ thuật thực thi tính nhất quán và các công cụ truyền bá mục đích đặc biệt hiệu quả - không đề cập đến các bộ giải SAT đa năng tốt. Tuy nhiên, tôi nghĩ rằng chắc chắn có những sử dụng lý thuyết đang chờ được khám phá, đặc biệt khi cơ sở Gröbner có kích thước hợp lý. Xem thêm bài viết của Jefferson, Jeavons, Green và van Dongen , được trình bày tại MACIS 2007 (phiên bản tạp chí: AMAI 67 359 Bút382, 2013, doi: 10.1007 / s10472-013-9365-7 ), trong đó thảo luận về một số vấn đề .

Tôi đã sử dụng cơ sở Gröbner để giúp tìm một bằng chứng ngắn về định lý phân đôi mới cho các vấn đề #CSP trên đồ thị 3 thông thường với một hàm ràng buộc nhị phân duy nhất có trọng số phức tạp ( phiên bản arXiv ).

$f \sim g$$\#\operatorname{CSP}(f) = \#\operatorname{CSP}(g)$

Cơ sở Gröbner được sử dụng để chuyển đổi từ bốn biến ban đầu cần thiết để xác định hàm nhị phân thành sáu "biến đối xứng" bất biến trong mỗi lớp tương đương (xem phần D của bài báo được liên kết ở trên). Tuy nhiên, cơ sở Gröbner không được đề cập trong bài báo vì mục đích duy nhất của nó là chuyển đổi tự động từ bốn biến ban đầu sang sáu biến đối xứng trong các đa thức khác nhau (được tạo ra bởi GroebnerBocation của Mathicala ).

Bài báo sau đây có thể được xem là một ứng dụng.

• Gunnar Carlsson, Gurjeet Singh, Afra Zomorodian: Tính toán kiên trì đa chiều. Tạp chí hình học tính toán, 1 (1) 2010, trang 72-100. http://jocg.org/index.php/jocg/article/view/19

Tôi thấy các tác giả sử dụng thuật toán của Buchberger như một chương trình con và khai thác cấu trúc của vấn đề của họ để chứng minh rằng thời gian chạy bị giới hạn về mặt đa thức.

Grant Passmore và những người khác viết về họ trong bối cảnh những người giải quyết SMT. Tôi không phải là chuyên gia về các cơ sở Groebner cũng như trong các nhà giải quyết SMT, vì vậy tôi rất khó để đánh giá mức độ tham khảo này trả lời câu hỏi của bạn tốt như thế nào.

Để chứng minh sự phức tạp, việc sử dụng các căn cứ Gröbner đã được đề xuất bởi Clegg, Edmonds, Impagliazzo để bác bỏ CNF. Có những trường hợp hệ thống bằng chứng này vượt trội hơn Độ phân giải theo cấp số nhân nhưng dường như tôi không thấy có sự cải thiện hiệu suất thực sự cho các trường hợp chung.

$GF(2)$

Tuy nhiên, tính toán đa thức chưa được nghiên cứu nhiều như Độ phân giải, do đó, các phương pháp phỏng đoán được kiểm tra tốt là không có sẵn.

Cũng xem cái này để biết ứng dụng trong tiền điện tử (tôi không biết nhiều về điều đó).

$k$$k$

Các cơ sở Grobner được sử dụng cho các thuật toán giải mã danh sách nhanh nhất cho các mã Reed-Solomon: http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/doad?doi=10.1.1.320.1170&rep=rep1&type=pdf

Các cơ sở Gröbner đã được sử dụng thành công để giải quyết các vấn đề quan trọng trong hình học nhiều chế độ trong thị giác máy tính .

Theo sau http://arxiv.org/pdf/1502.05912.pdf đôi khi cơ sở grobner được sử dụng để quyết định đẳng cấu (khi đồ thị được mã hóa bởi các hệ phương trình). Nhưng điều này tham gia vào việc sử dụng cơ sở grobner trong việc bác bỏ CNFS.