Hạn chế các mục của toán tử đơn vị đối với số thực và bộ cổng phổ quát

Trong Bernstein và Vazirani của giấy tinh "Quantum Theory phức tạp", họ cho thấy một biến đổi unita chiều có thể xấp xỉ một cách hiệu quả bởi một sản phẩm của những gì họ gọi là "gần tầm thường quay" và "thay đổi giai đoạn gần như không đáng kể".$d$

"Gần tầm thường quay" là chiều đơn nhất ma trận mà hành động như bản sắc trên tất cả 2 chiều, nhưng hoạt động như một vòng quay trong mặt phẳng kéo dài bởi những hai chiều (tức là có một submatrix 2x2 có dạng:$d$

$\begin{pmatrix} \cos{\theta} & -\sin{\theta} \\ \sin{\theta} & \cos{\theta} \\ \end{pmatrix}$

đối với một số ).$\theta$

"Lệch pha gần tầm thường" là chiều đơn nhất ma trận mà hành động như bản sắc trên tất cả trừ 1 chiều, nhưng áp dụng một yếu tố của đối với một số với một chiều.e i q$d$$e^{i\theta}$$\theta$

Hơn nữa, họ chỉ ra rằng chỉ cần một góc quay (đối với cả hai trường hợp không xoay và lệch pha), với điều kiện là góc đó là bội số vô tỷ của (BV đặt góc là .2 π Σ ∞ k = 1 2 - 2 $2\pi$$2\pi\sum_{j=1}^{\infty}{2^{-2^j}}$

Các bài báo tiếp theo về lý thuyết phức tạp lượng tử (như của Adman et al hoặc Fortnow và Rogers) cho rằng kết quả của BV ngụ ý rằng tính toán lượng tử phổ quát có thể được thực hiện với các toán tử đơn vị có các mục nhập nằm trong .$\mathbb{R}$

Làm thế nào điều này theo sau? Tôi có thể hiểu rằng một sản phẩm của ma trận xoay gần tầm thường sẽ cung cấp cho bạn một ma trận đơn nhất với các mục thực, nhưng còn ma trận chuyển pha thì sao?

Đó là: nếu bạn chỉ có thể thực hiện các phép quay gần tầm thường và ma trận dịch pha trong đó các mục nhập của ma trận là , chúng ta có thể tính gần đúng tất cả các ma trận dịch pha khác không?$0,\pm 1$

Tôi nghi ngờ rằng hàm ý này không rõ ràng ngay lập tức và bằng chứng thích hợp cho nó sẽ giống với bằng chứng cho thấy cánh cổng giống như Toffoli của Đức là phổ biến - hay tôi đang thiếu một điều gì đó rất rõ ràng?

Có một bằng chứng đơn giản rằng Toffoli và Hadamard là Quantum Universal của Dorit Aharonov, lần đầu tiên cho thấy các biên độ phức tạp có thể được mô phỏng bằng các biên độ thực trên một không gian Hilbert lớn hơn với một qubit hơn.

"Điều này được thực hiện bằng cách thêm một qubit bổ sung vào mạch, trạng thái cho biết trạng thái của hệ thống nằm trong phần thực hay ảo của không gian Hilbert và thay thế mỗi cổng phức tạp hoạt động trên qubit bằng phiên bản thực của nó , được ký hiệu là , hoạt động trên cùng một qubit cộng với qubit phụ. được xác định bởi:k ~ U k ~ $U$$k$$\tilde{U}$$k$$\tilde{U}$

$\tilde{U}|i\rangle |0\rangle = [Re(U)|i\rangle]|0\rangle + [Im(U)|i\rangle]|1\rangle$
$\tilde{U}|i\rangle |1\rangle = -[Im(U)|i\rangle]|0\rangle + [Re(U)|i\rangle]|1\rangle$ "

Thứ hai, cô chứng minh tính phổ biến của bộ cổng {Hadamard, Toffoli}, chỉ có biên độ thực .$\{0,1,\pm\frac{1}{\sqrt{2}}\}$

Ngoài bài báo Martin chỉ cho bạn, còn có một bài báo trước đó của Terry Rudolph và Lov Grover cho thấy một cổng 2 rebit là phổ quát cho điện toán lượng tử (xem quant-ph / 0210187 ). Cổng có tất cả các enteries thực, và trong trường hợp bạn không biết các khoản giảm giá là qubit trong đó biên độ được giới hạn ở số thực. Đây có thể là nguồn gốc của yêu cầu. Cổng trong câu hỏi được mô tả trong bài báo là một vòng quay Y được kiểm soát.

Điều đáng chú ý là một cổng Y được kiểm soát như vậy có thể được tạo từ các phép quay Y và cổng Z được kiểm soát như sau: . Lưu ý rằng xoay Y chính xác là loại xoay được mô tả trong câu hỏi của bạn, trong khi các cổng Z được kiểm soát chỉ có các mục +1 và -1.$G(\theta) = Y_2(\frac{\theta}{2}) CZ_{12} Y_2(\frac{\theta}{2}) CZ_{12}$