Sự phức tạp của việc áp dụng một hoán vị tại chỗ

Thật ngạc nhiên, tôi đã không thể tìm thấy các bài báo về điều này - có thể đã tìm kiếm các từ khóa sai.

Vì vậy, chúng ta đã có một mảng của bất cứ thứ gì, và một hàm trên các chỉ số của nó; là hoán vị.$f$$f$

Làm thế nào để chúng ta sắp xếp lại mảng theo với bộ nhớ và thời gian chạy càng gần và càng tốt?$f$$O(1)$$O(n)$

Có bất kỳ điều kiện bổ sung khi nhiệm vụ này trở nên dễ dàng hơn? Ví dụ khi chúng ta biết rõ một hàm là nghịch đảo của ?$g$$f$

Tôi biết một thuật toán theo chu kỳ và đi qua một chu kỳ cho mỗi chỉ số để kiểm tra xem nó có phải là ít nhất trong chu kỳ của nó không, nhưng một lần nữa, nó có thời gian chạy tồi tệ nhất $O(n^2)$, mặc dù trung bình nó có vẻ hoạt động tốt hơn. ..

Tùy chọn 0: Cho phép tại chỗ (1995) bởi Faith E. Fich, J. Ian Munro, Patricio V. Poblete time O ( log 2 n ) space.$O(n \log n)$$O( \log^{2} n )$

Tùy chọn 1: Gian lận bằng cách nén hoán vị của bạn vào cấu trúc dữ liệu cô đọng, xem Munro http://www.itu.dk/people/ssrao/icalp03-a.pdf .

Tùy chọn 2: Sử dụng phân tách chu kỳ chính để lưu trữ perm một cách ngắn gọn và sử dụng khoảng trống thừa đó để gian lận http://oeis.org/A186202

Tùy chọn 3: Theo dõi chỉ số lớn nhất của mỗi chu kỳ thao tác. Đối với mỗi lần lặp, sử dụng chỉ số vô hình lớn nhất để di chuyển mọi thứ trong chu kỳ của nó theo một. Nếu nó chạm vào một chỉ mục đã thấy thì hoàn tác tất cả công việc đó vì chu trình đã bị thao túng. , không gian O ( # chu kỳ ∗ log n ) .$O(n^2)$$O(\#\text{cycles} * \log n)$

Tùy chọn 4: Theo dõi chỉ số lớn nhất của mỗi chu kỳ được thao tác, nhưng chỉ thực hiện chúng theo lô có độ dài chu kỳ riêng biệt. Đối với mỗi lần lặp, sử dụng chỉ số vô hình lớn nhất để di chuyển mọi thứ trong chu kỳ của nó. Nếu nó đạt một chỉ số nhìn thấy hoàn tác tất cả các công việc đó vì chu trình thae đã bị thao túng. thời gian, O ( ( # chu kỳ _ với _ cùng _ kích thước ) * log n ) không gian.$O(n^2 * \text{distinct}\_\text{cycle}\_\text{lengths})$$O((\#\text{cycles}\_\text{with}\_\text{same}\_\text{size}) * \log n)$

Tùy chọn 5: Từ cùng một tờ giấy của Munro là Tùy chọn 0, Với xoay chu kỳ của p ( i ) nếu i là chỉ số lớn nhất trong chu kỳ đó. Thời gian O ( n 2 ) và không gian O ( log n ) .$i = 1 .. n$$p(i)$$i$$O(n^2)$$O(\log n)$

Nếu bạn sử dụng biểu diễn chu kỳ của hoán vị, bạn cần thêm 1 phần tử mảng để lưu trữ mục hiện đang được hoán vị và bạn có thể chạy qua các chu kỳ trong các hoạt động O (N) tồi tệ hơn.

Bất kỳ hoán vị của N mục có thể được chuyển đổi thành bất kỳ hoán vị khác bằng cách sử dụng N-1 hoặc ít hơn trao đổi. Trường hợp xấu nhất cho phương thức này có thể yêu cầu các cuộc gọi O (n ^ 2) đến nhà tiên tri của bạn, F (). Bắt đầu từ vị trí ít nhất. Đặt x là vị trí chúng ta hiện đang trao đổi.

Nếu F (x)> = x thì hoán đổi vị trí x và F (x). Khác, chúng ta phải tìm vị trí của mục ở vị trí F (x) hiện tại trong danh sách. Chúng ta có thể làm điều này với lần lặp sau. Đặt y = F (x). Làm cho đến khi y> = x: y = F (y): Kết thúc Do. Bây giờ trao đổi vị trí x và y.

Phương pháp này sử dụng nghịch đảo của F và yêu cầu n bit lưu trữ. Nếu x là vị trí của một mục trong mảng ban đầu, hãy để G (x) là vị trí của mục trong mảng được sắp xếp. Đặt B là một mảng n bit. Đặt tất cả n bit của B thành 0.

CHO x = 1 đến n-1: NẾU B (x) == 0 THEN: y = G (x): DO UNTIL x == y: Hoán đổi vị trí x và y: B (y) = 1: y = G ( y): LOOP: ENDIF: TIẾP X

Phương pháp này tiếp tục hoán đổi vật phẩm hiện tại ở vị trí x đến vị trí cuối cùng của vật phẩm. Vòng lặp bên trong kết thúc khi mục chính xác được hoán đổi vào vị trí x. Vì mỗi trao đổi di chuyển ít nhất một mục vào vị trí cuối cùng của mục, vòng lặp Do bên trong không thể thực hiện nhiều hơn n-1 lần trong khi chạy. Tôi nghĩ phương pháp này là O (n) thời gian và không gian.