Nhân n đa thức bậc 1

Vấn đề là để tính toán đa thức . Giả sử rằng tất cả các hệ số phù hợp với một từ máy, nghĩa là có thể được thao tác trong đơn vị thời gian. $(a_1 x + b_1) \times \cdots \times (a_n x + b_n)$

Bạn có thể thực hiện thời gian bằng cách áp dụng FFT theo kiểu cây. Bạn có thể làm không? $O(n \log^2 n)$ $O(n \log n)$

— Hải Hải
nguồn

Câu hỏi hay, có vẻ như tôi đã thấy một cái gì đó tương tự trong blog của ai đó, nhưng tôi không thể nhớ nó ở đâu.

— Grigory Yaroslavtsev

Quan sát nhỏ: chúng ta đã biết (làm việc trên Q, nói) rễ n

, vì vậy vấn đề là tương đương với: Với

, tính toán đa thức

. (Tôi đoán vậy.)

α_{i} = - b_{i} / a_{i}

$\alpha_i = -b_i/a_i$

α_{1}, \dots, α_{n}

$\alpha_1, \dots , \alpha_n$

(x - α_{1}) \dots (x - α_{n})

$(x-\alpha_1)\dots(x-\alpha_n)$

— ShreevatsaR

Bạn có thể đưa ra một tham chiếu đến kết quả

không?

O (n \log^{2} n)

$O(n\log^2 n)$

— Mohammad Al-Turkistany

Như @Suresh đã đề cập, đó là một cách tiếp cận phân chia và chinh phục đơn giản. Nó có thể được khái quát hóa để n polys có thể có mức độ khác nhau

, trong trường hợp này bạn có thể chia theo kiểu cây Huffman. Xem Strassen: Độ phức tạp tính toán của các phân số tiếp tục.

d_{i}

$d_i$

— Zeyu

Chúng ta có thể tính tích chập của

vectơ có kích thước 2 không đổi trong thời gian

không?

n

$n$

O (n \log n)

$O(n \log n)$

— Kaveh

Cảnh báo: Đây chưa phải là một câu trả lời hoàn chỉnh. Nếu lập luận hợp lý làm bạn khó chịu, hãy ngừng đọc.

Tôi sẽ xem xét một biến thể mà chúng tôi muốn nhân (x - a_1) ... (x - a_n) qua các số phức.

Vấn đề là kép để đánh giá một đa thức tại n điểm. Chúng tôi biết điều này có thể được thực hiện một cách khéo léo trong thời gian O (n log n) khi các điểm xảy ra là gốc thứ n của sự thống nhất. Điều này tận dụng lợi thế thiết yếu của các đối xứng của các đa giác thông thường làm nền tảng cho Biến đổi Fourier nhanh. Sự biến đổi đó có hai dạng, theo quy ước được gọi là decimation-in-time và decimation-in-tần số. Trong cơ số hai, họ dựa vào một cặp đối xứng kép của đa giác đều đều: đối xứng lồng vào nhau (một hình lục giác đều bao gồm hai hình tam giác đều nhau) và quạt mở ra đối xứng (cắt một hình lục giác đều bằng một nửa và mở ra các mảnh như hình quạt thành các tam giác đều).

Từ quan điểm này, có vẻ rất hợp lý rằng thuật toán O (n log n) sẽ tồn tại cho một tập hợp n điểm tùy ý mà không có đối xứng đặc biệt. Nó có nghĩa là không có gì đặc biệt về mặt thuật toán đối với các đa giác thông thường so với các tập hợp điểm ngẫu nhiên trong mặt phẳng phức.

— Mỗi Vognsen
nguồn

Ω (n \log^{2} n)

$\Omega(n\log^2 n)$

Thật! Tôi ước tôi có một câu trả lời dứt khoát hơn. Nó rất thú vị.

— Per Vognsen

Tiền thưởng được trao!

— Jeffε

@PerVognsen: Bạn có thể đưa ra một tài liệu tham khảo cho quan điểm này re: đối xứng của đa giác / đối xứng lồng vào nhau? Hoặc nếu đây là một quan sát của riêng bạn, bạn có thể mở rộng thêm một chút không?

— Joshua Grochow