Một vấn đề đơn giản (?) Hài hước!

Hãy để chúng tôi sửa $0<E<1$ và số nguyên $t>0$ .

với mọi và cho mọi vectơ sao cho $n$ $\bar{c} \in [0,1]^n$ $\sum_{i\in [n]} c_i \geq E \times n$

$A_{\bar{c}} :=|\{ S \subseteq [n] : \sum_{i \in S}~ c_i \geq E \times t \}| \geq \binom{ E \times n}{ t }$

Tôi không biết nếu quy định là đúng o sai. Tôi nghĩ đó là sự thật.

Trực giác của tôi xuất phát từ việc quan sát rằng đối với các vectơ (với thuộc tính được coi là về tổng), chúng ta có ; trong trường hợp này, chúng tôi chỉ có thể chọn tập hợp con từ tập . $\bar{c} \in \{0,1\}^n$ $A_{\bar{c}}= \binom{ E \times n}{t}$ $\{ i ~|~ c_i = 1 \}$

Trong trường hợp khác, chúng ta có thể tạo tập hợp con tốt (st tổng lớn hơn ) bằng cách sử dụng tọa độ trong nhưng cũng có thể, sử dụng một vài tọa độ từ tập chúng ta có thể tạo một bộ tốt khác! $E \times t$ $\{ i ~|~ c_i > E \}$ $\{ i ~|~ c_i \leq E \}$

Vì vậy, Chứng minh nó hoặc tìm lỗi! Hy vọng rằng nó có thể là một trò chơi vui nhộn cho bạn!

Động lực của câu hỏi :

Giả sử bạn có một biến ngẫu nhiên , một thước đo điển hình của "mức độ ngẫu nhiên" có trong là entropy tối thiểu $X\in \{0,1\}^n$ $X$

$H_{\infty}(X) = min_{x} \{ -log(Pr[X = x]) \}$

Trong một số ý nghĩa trực quan, min-entropy là trường hợp xấu nhất của Shannon Entropy nổi tiếng (đó là trường hợp trung bình ).

Chúng tôi quan tâm đến việc hạ thấp entropy của biến ngẫu nhiên trong đó được phân phối đồng đều trên tập . $(Z=X \wedge Y| Y)$ $Y$ $\{ y ~|~ \sum_i y_i = t\}$

Nói một cách lỏng lẻo nếu chúng ta may mắn, chúng ta có thể bắt được các bit của có "entropy tốt" và vì vậy chúng ta nếu thì $X$ $H_{\infty}(X)\geq En$ $H_{\infty}(Z|Y)\geq Et$

Xác suất mà chúng ta may mắn là gì?

Vấn đề được nghiên cứu kỹ và có rất nhiều tài liệu, ví dụ, xem Bổ đề A.3. trong Mật mã khóa công khai bị rò rỉ trong mô hình giới hạn

co.combinatorics it.information-theory

— AntonioFa
nguồn

Tôi bối rối bởi thuật ngữ . Vì không nhất thiết phải là số nguyên, nên nó được định nghĩa như thế nào?

(\binom{E \times n}{t})

$E\times n \choose t$

E \times n

$E\times n$

— Dave Clarke

Động lực là gì?

— Anthony Labarre

@Dave Clarke, các cách tiếp cận tiêu chuẩn là xác định nó theo hàm gamma hoặc (cho rằng là số nguyên) là.

t

$t$

\prod_{k = 0}^{t - 1} (E n - k) / t!

$\prod_{k=0}^{t-1}(En-k) / t!$

— Peter Taylor

Các hệ số nhị thức có thể được khái quát thành các đối số không tách rời (trang Wikipedia cung cấp khá nhiều chi tiết). Tuy nhiên, có thể không cần thiết trong trường hợp này: Lưu ý rằng đủ để chứng minh điều này trong trường hợp cực trị trong đó tổng của bằng (nghĩa là là giá trị trung bình của chúng).

c_{i}

$c_i$

E \times n

$E\times n$

E

$E$

— Klaus Draeger

@Dave: Tôi xin lỗi vì sự không chính xác của tôi, theo quan điểm của tôi, bạn có thể chọn .

⌊ E n ⌋

$\lfloor En \rfloor$

— AntonioFa

Phỏng đoán trong bài không giữ, nhưng phỏng đoán yếu hơn (đối với sàn) được đề cập trong các ý kiến không giữ. Trong thực tế, một cái gì đó mạnh mẽ hơn giữ.

Bổ đề 1. Phỏng đoán trong bài không giữ. Đó là, có một trường hợp thỏa mãn các giả định đã cho trong đó

| {S \subseteq [n] : \sum_{i \in S} c_{i} \geq E t} | < (\binom{E n}{t}) .

$\big|\textstyle\big\{ S \subseteq [n] : \sum_{i \in S}~ c_i \geq E \, t \big\}\big| < \binom{ E \, n}{ t }.$

Bằng chứng. Xét trường hợp với , , và . Khi đó . Đối với phía bên trái, chúng ta có vì bất kỳ tập hợp con nào không chứa cả hai tổng 1 đến tối đa 1.7 và chỉ có hai tập hợp con ( và ) chứa cả 1. Và phía bên tay phải là $n=3$ $c=(1, 1, 0.7)$ $E=2.7/3=0.9$ $t=2$ $E\, t = 1.8$

| {S \subseteq [3] : \sum_{i \in S} c_{i} \geq 1.8} | = 2

$\big|\textstyle\{ S \subseteq [3] : \sum_{i \in S}~ c_i \geq 1.8 \}\big| = 2$

S

$S$

{1, 1}

$\{1,1\}$

{1, 1, 0.7}

$\{1,1,0.7\}$

(\binom{2.7}{2}) = 2.7 \cdot 1.7 / 2 = 2.295 > 2. ◻

$\binom{ 2.7}{ 2 } = 2.7\cdot 1.7\,/\, 2 = 2.295>2. ~~~\Box$

Giả thuyết yếu hơn được đề xuất trong các bình luận, cụ thể là ràng buộc wrt sàn, , không giữ. Trong thực tế, một cái gì đó mạnh hơn một chút giữ: $\lfloor E\, n \rfloor$

Bổ đề 2. Khắc phục , số nguyên và vectơ với . Sau đó $0<E<1$ $n,t>0$ $c \in [0,1]^n$ $\sum_{i\in [n]} c_i \geq E\, n$

| {S \subseteq [n] : \sum_{i \in S} c_{i} \geq E t} | > (\binom{⌊ E n ⌋}{t}) + (\binom{⌊ E n ⌋}{t + 1}) + \dots + (\binom{⌊ E n ⌋}{⌊ E n ⌋}) .

$\big|\textstyle\big\{ S \subseteq [n] : \sum_{i \in S}~ c_i \geq E\, t \big\}\big| \,>\, \binom{ \lfloor E\, n\rfloor}{ t } + \binom{ \lfloor E\, n\rfloor}{ t+1 } + \cdots + \binom{ \lfloor E\, n\rfloor}{ \lfloor E\, n\rfloor }.$

Bằng chứng. Đặt . Giả sử WLOG rằng . (Nếu không mở rộng và mỗi xuống bởi một yếu tố thống nhất để làm cho nó như vậy. Điều này duy trì và những thay đổi không mà tập con sum ít nhất cũng không mong muốn thấp hơn bị ràng buộc về số lượng các tập hợp con như vậy.) Giả sử WLOG rằng (nếu không thì yêu cầu giữ tầm thường). $a=\lfloor E\, n\rfloor$ $a=E\,n$ $E$ $c_i$ $\sum_i c_i \ge E\,n$ $E\,t$ $t\le a$

Xem xét bất kỳ tập hợp con có kích thước ít nhất là , trong đó . Vì và chứa tất cả trừ tối đa phần tử (mỗi phần tử có nhiều nhất là 1), nên chúng tôi có , như mong muốn. $S\subseteq [n]$ $n-d$ $d=a-\lceil a\,t/n\rceil \ge 0$ $\sum_{i\in[n]} c_i \ge a$ $S$ $d$ $\sum_{i\in S} c_i \ge a-d = \lceil a\,t/n\rceil = \lceil E\,t\rceil \ge E\,t$

Số tập con như vậy là $S$

${n\choose n-d} + {n \choose n-d+1} + \cdots + {n \choose n-1} + {n \choose n}$

$= {n\choose d} + {n \choose d-1} + \cdots + {n \choose 1} + {n \choose 0}$

$> {a\choose d} + {a \choose d-1} + \cdots + {a \choose 1} + {a \choose 0}~~~$ (sử dụng ) $n>a$

$= {a\choose a-d} + {a \choose a-d+1} + \cdots + {a \choose a-1} + {a \choose a}.$

Nhưng (sử dụng ), vì vậy tổng cuối cùng ít nhất là giới hạn dưới mong muốn về số lượng tập hợp con tốt. $a-d = \lceil a\,t/n\rceil \le t$ $a/n = E < 1$ $~~\Box$

— Neal trẻ
nguồn