Độ dẫn điện và đường kính trong đồ thị thông thường

Cho một đồ thị thông thường, vô hướng , mối quan hệ giữa đường kính của nó - được định nghĩa là khoảng cách lớn nhất giữa hai nút - và độ dẫn của nó, được định nghĩa là trong đó là số cạnh giao nhau giữa và . $G=(V,E)$

min_{S \subset V} \frac{e (S, S^{c})}{min (| S |, | S^{c} |)},

$\min_{S \subset V} ~\frac{e(S,S^c)}{\min(|S|,|S^c|)},$

e (S, S^{c})

$e(S,S^c)$

S

$S$

S^{c}

$S^c$

Cụ thể hơn cho rằng tôi biết đường kính ít nhất (hoặc ít nhất) . Điều này cho tôi biết gì về độ dẫn, nếu có gì? Và ngược lại, giả sử tôi biết độ dẫn điện nhiều nhất (hoặc ít nhất) . Điều này cho tôi biết gì về đường kính, nếu có gì? $D$ $\alpha$

graph-theory co.combinatorics expanders

— robinson
nguồn

Có vẻ như thuộc tính bạn yêu cầu là mở rộng biểu đồ thay vì độ dẫn của biểu đồ, được xác định là , trong đó được định nghĩa là . Cái nào là tài sản bạn muốn ??

min_{S \subseteq V} e (S, \bar{S}) / min {v o l (S), v o l (\bar{S})}

$\min_{S \subseteq V} \ {e(S,\overline{S})}/{\min\{\mathsf{vol}(S), \mathsf{vol}(\overline{S})\}}$

v o l (S)

$\mathsf{vol}(S)$

\sum_{v \in S} \deg (v)

$\sum_{v \in S} \deg(v)$

— Hsien-Chih Chang 張顯

@ Hsien-Chi Chang - vì biểu đồ là thường xuyên, tôi tin rằng độ dẫn và độ giãn nở phải giống với hệ số nhân của độ .

d

$d$

— robinson

Ah, tôi đã không nhận thấy rằng biểu đồ là thường xuyên. Cảm ơn đã giải thích.

— Hsien-Chih Chang 張顯

@ Hsien-ChihChang: Tôi nghĩ mở rộng đồ thị và độ dẫn đồ thị là cùng một khái niệm. Bạn có tài liệu tham khảo về định nghĩa trong bình luận của bạn?

— StackExchange cho tất cả các

Như Hsieh lưu ý, định nghĩa về độ dẫn của bạn không phù hợp với yếu tố tôi biết theo hệ số , trong đó là mức độ của biểu đồ thông thường. Điều này còn được gọi là mở rộng cạnh cho đồ thị thông thường. $d$ $d$

Một mối quan hệ giữa mở rộng cạnh và đường kính là khá dễ dàng để hiển thị. Theo trực giác, một bộ mở rộng "giống như" một đồ thị hoàn chỉnh, vì vậy tất cả các đỉnh đều "gần nhau". Chính thức hơn, hãy

min_{S \subseteq V} \frac{e (S, S^{c})}{d \cdot min {| S |, | S^{c} |}} \geq α

$\min_{S \subseteq V}\ { \frac{ e(S, S^c) }{ d \cdot \min\{|S|, |S^c|\} }} \geq \alpha$

Lấy bất kỳ tập hợp đỉnh với . Có ít nhấtcạnh sắp ra của và vì là -regular, khu phố của (bao gồm chính nó) có kích thước tối thiểu. Áp dụng tuyên bố này quy nạp, bắt đầu từ cho bất kỳ đỉnh , chúng ta thấy rằng đối với một số , 's -hop khu phố có kích thước ít nhất . Do đó, vùng lân cận -hop của bất kỳ đỉnh nào $S$ $|S| \leq |V|/2$ $\alpha d |S|$ $S$ $G$ $d$ $S$ $S$ $(1+\alpha)|S|$ $S = \{u\}$ $u$ $t = O(\log_{1 + \alpha } |V|)$ $u$ $t$ $|V|/2$ $t+1$ $v$ phải giao nhau với vùng lân cận -hop của , hoặc đồ thị sẽ có nhiều hơnđỉnh, một mâu thuẫn. Vì vậy, bạn có $t$ $u$ $|V|$

D = O (\frac{\log | V |}{\log (1 + α)})

$D = O\left(\frac{\log |V|}{\log (1 + \alpha)}\right)$

Tất nhiên, nó cũng theo sau rằng có một giới hạn dưới trên đường kính ngụ ý một giới hạn trên về mở rộng cạnh.

Tôi không nghĩ đường kính nhỏ ngụ ý độ dẫn. Nếu bạn không nhấn mạnh vào các biểu đồ thông thường (và sử dụng định nghĩa của Hsieh), thì hai biểu đồ hoàn chỉnh được kết nối bởi một cạnh sẽ cung cấp một ví dụ mẫu.

— Sasho Nikolov
nguồn

Tôi sắp đăng một câu trả lời và bây giờ tôi không phải làm thế, tôi chỉ có thể nâng cao câu trả lời của bạn thay vào đó;) Cảm ơn vì câu trả lời hay!

— Hsien-Chih Chang 張顯

Tôi hy vọng tổng thời gian bạn và tôi dành cho nghiên cứu đã được giảm thiểu :)

— Sasho Nikolov

@robinson: thực tế đơn giản và pha trộn nhanh chóng này là cơ sở của nhiều ứng dụng (hầu hết?) Của các gia đình mở rộng đồ thị thông thường. ví dụ, thuộc tính đường kính nhỏ là cơ sở của ứng dụng để giải quyết kết nối st trong logspace

— Sasho Nikolov

câu trả lời ban đầu của tôi có một lỗi: đối số tôi đã viết là để mở rộng đỉnh, nhưng chúng tôi đang làm việc với mở rộng cạnh ở đây. Tôi đã sửa lỗi và giới hạn bây giờ hơi tệ hơn

— Sasho Nikolov