Trích dẫn cho thấy vị thành niên là vị thành niên tô pô cho biểu đồ cận lâm sàng

Nếu là một đồ thị với mức độ tối đa 3 và là trẻ vị thành niên của , sau đó là trẻ vị thành niên topo của .$G$$H$$G$$H$

Wikipedia trích dẫn kết quả này từ "Lý thuyết đồ thị" của Diestel. Nó được liệt kê là Dự luật 1.7.4 trong phiên bản mới nhất của cuốn sách. Cuốn sách thiếu bằng chứng hoặc trích dẫn.

Là nơi ở được biết đến với một bằng chứng (bản gốc) về điều này?

Hơn nữa, có một tài liệu tham khảo chứng minh rằng nếu là một đường dẫn hoặc một phân khu của một móng vuốt và là một phần nhỏ của thì là một sơ đồ con của ? Nó được đề cập ở đây ngắn gọn nhưng thiếu tài liệu tham khảo.$G$$H$$G$$H$

Nếu là một đồ thị với mức độ tối đa 3 và là trẻ vị thành niên của , sau đó là trẻ vị thành niên topo của .$G$$H$$G$$H$

Vì là số nhỏ của , G có thể được lấy từ H bằng cách xóa các cạnh, các đỉnh bị cô lập và thực hiện các cơn co thắt cạnh. Cũng dễ dàng cho thấy rằng chúng ta có thể nhấn mạnh rằng các hoạt động của sơ đồ con được thực hiện trước tiên, tức là trước tiên chúng ta có thể thực hiện tất cả các thao tác xóa cạnh và đỉnh và sau đó thực hiện tất cả các cơn co thắt cạnh. Ngoài ra, chúng ta hãy hạn chế định nghĩa "co rút cạnh" để không cho phép các cạnh hợp đồng trong đó một trong các đỉnh có độ 1. Ký hợp đồng cạnh như vậy giống như xóa nó, vì vậy điều này sẽ không thay đổi định nghĩa của các vị thành niên đồ thị.$G$$H$$G$$H$

Đặt là đồ thị thu được từ H bằng cách thực hiện tất cả các thao tác xóa cạnh / đỉnh trước. H ' vẫn chứa G như trẻ vị thành niên. Nếu chúng ta chỉ ra rằng H ′ chứa G là một cấu trúc liên kết nhỏ thì chúng ta đã hoàn thành, vì định nghĩa của cấu trúc liên kết nhỏ cũng cho phép xóa cạnh / đỉnh.$H'$$H$$H'$$G$$H'$$G$

Vì có thể thu được từ H ′ bằng cách co cạnh, H ′ và tất cả các đồ thị trung gian phải có mức 3 tối đa vì không có cách nào để giảm mức độ tối đa của đồ thị bằng cách thực hiện co rút cạnh. (Điều này sẽ có thể xảy ra nếu chúng ta đã cho phép sự co lại của sự cố cạnh trên đỉnh của độ 1.)$G$$H'$$H'$

Vì vậy, xem xét bất cứ bước nào trong việc chuyển đổi đến G . Các loại cạnh duy nhất chúng ta có thể ký hợp đồng là những loại có cả đỉnh cấp 2 hoặc đỉnh một độ 2 và đỉnh một độ 3. (Tất cả các kết hợp khác không hoạt động. Ví dụ: các cạnh có hai đỉnh cấp 3 sẽ tạo ra đỉnh cấp 4 khi ký hợp đồng.)$H'$$G$

Và bây giờ chúng ta đã hoàn thành, vì nếu được lấy từ H 2 bằng cách hợp đồng một cạnh với hai đỉnh bậc 2, thì H 2 có thể được lấy từ H 1 bằng cách thực hiện phân chia cạnh trên cạnh đó. Tương tự cho một cạnh với một đỉnh 3 độ và một đỉnh 2 độ. Do đó H ' có thể thu được từ G bằng cách thực hiện phân mép chỉ, có nghĩa là G là trẻ vị thành niên topo của H ' và do đó H .$H_1$$H_2$$H_2$$H_1$$H'$$G$$G$$H'$$H$

Nếu là một đường dẫn hoặc một phân khu của một móng vuốt và là một con của H thì G là một sơ đồ con của $G$$H$$G$$H$

Điều này là dễ dàng để hiển thị một khi chúng ta có kết quả trước đó. Kể từ khi con đường và các phân khu của móng vuốt có trình độ tối đa 3, nếu là trẻ vị thành niên của H nó cũng là trẻ vị thành niên topo của H . Điều này có nghĩa là có một sơ đồ con của H có thể thu được từ G bằng cách chỉ thực hiện các phân vùng cạnh. Bây giờ thật dễ dàng để hiển thị bằng cách cảm ứng rằng mọi phân vùng cạnh của một đường dẫn hoặc phân khu của một móng vuốt dẫn đến một biểu đồ có chứa bản gốc dưới dạng sơ đồ con. Ví dụ: việc phân chia một đường dẫn có độ dài k dẫn đến một đường dẫn có độ dài k + 1, trong đó chứa đường dẫn có độ dài k là một sơ đồ con. Tương tự cho các phân khu của một móng vuốt.$G$$H$$H$$H$$G$

Chúng tôi cũng cần kết quả này cho một bài báo một lần, vì vậy chúng tôi đã bao gồm một bằng chứng ngắn trong bài báo của mình. Bạn có thể tìm thấy kết quả về độ phức tạp truy vấn lượng tử của các thuộc tính đồ thị đóng nhỏ . Nó được đề cập ở trang 13. Tuy nhiên, thực tế này được ẩn giấu trong bằng chứng của một điều gì khác và không được nêu rõ ràng như một định lý.

Điều thú vị nữa là có một điều ngược lại với định lý này:

Các đồ thị duy nhất chứa G là phụ là tương đương với chứa G dưới dạng sơ đồ con là các đồ thị trong đó mỗi thành phần được kết nối là một đường dẫn hoặc một phân khu của một móng.$G$$G$$G$