Với một dag có trọng số, có thuật toán O (V + E) để thay thế từng trọng số bằng tổng trọng số tổ tiên của nó không?

Vấn đề, tất nhiên, là tính hai lần. Nó đủ dễ để thực hiện đối với một số lớp DAG nhất định = một cây hoặc thậm chí là một cây song song nối tiếp. Thuật toán duy nhất tôi đã tìm thấy hoạt động trên các DAG chung trong thời gian hợp lý là một thuật toán gần đúng (khuếch tán tóm tắt), nhưng việc tăng độ chính xác của nó là theo số mũ (và tôi cần rất nhiều bit).

Bối cảnh: nhiệm vụ này được thực hiện (nhiều lần với các 'trọng số' khác nhau) như là một phần của tính toán xác suất trong BBChop (http://github.com/ealdwulf/bbchop) một chương trình để tìm các lỗi không liên tục (ví dụ: phiên bản bayes của ' git bisect '). Do đó, DAG trong câu hỏi là một lịch sử sửa đổi. Điều đó có nghĩa là số cạnh không có khả năng tiếp cận bình phương của số nút, nó có thể ít hơn k lần số nút đối với một số k nhỏ. Thật không may, tôi không tìm thấy bất kỳ tính chất hữu ích nào khác của DAG sửa đổi. Ví dụ, tôi đã hy vọng rằng thành phần ba hình lớn nhất sẽ chỉ phát triển dưới dạng căn bậc hai của số nút, nhưng thật đáng buồn (ít nhất là trong lịch sử của nhân linux) nó phát triển tuyến tính.

Chúng tôi giả định rằng trọng số đỉnh có thể là số nguyên dương tùy ý, hay chính xác hơn, chúng có thể là số nguyên dương tối đa 2 ⁿ . Sau đó, tác vụ hiện tại không thể được thực hiện ngay cả trong thời gian O ( n ² ) yếu hơn một chút , trừ khi việc đóng tạm thời của đồ thị có hướng tùy ý có thể được tính trong thời gian O ( n ² ), trong đó n biểu thị số đỉnh. (Lưu ý rằng thuật toán thời gian O ( n ² ) cho đóng cửa bắc cầu sẽ là một bước đột phá.) Đây là điểm mấu chốt của yêu cầu sau:

Yêu cầu . Nếu tác vụ hiện tại có thể được thực hiện trong thời gian O ( n ² ), thì việc đóng tạm thời của đồ thị có hướng tùy ý được đưa ra dưới dạng ma trận kề của nó có thể được tính trong thời gian O ( n ² ) (giả sử một số mô hình tính toán hợp lý).

Bằng chứng . Là một tiền xử lý, chúng tôi tính toán sự phân hủy thành phần kết nối mạnh mẽ của cho đạo diễn đồ thị G trong thời gian O ( n ² ) để có được một DAG G '. Lưu ý rằng nếu chúng ta có thể tính toán đóng bắc cầu của G ', chúng ta có thể tái tạo lại đóng bắc cầu của G .

Bây giờ gán trọng số 2 ⁱ cho mỗi đỉnh i của DAG G và sử dụng thuật toán cho bài toán hiện tại. Sau đó, biểu diễn nhị phân của số tiền được gán cho mỗi đỉnh i mô tả chính xác các thiết lập của tổ tiên của tôi , nói cách khác, chúng tôi đã tính toán thời điểm đóng bắc cầu của G '. QED .

Điều ngược lại của yêu cầu cũng đúng: nếu bạn có thể tính toán mức đóng tạm thời của một DAG nhất định, có thể dễ dàng tính các khoản tiền cần thiết bằng công việc bổ sung trong thời gian O ( n ² ). Do đó, về lý thuyết, bạn có thể đạt được nhiệm vụ hiện tại trong thời gian O ( n ^2.376 ) bằng cách sử dụng thuật toán cho phép đóng bắc cầu dựa trên thuật toán nhân ma trận Coppersmith-Winograd .

Chỉnh sửa : Bản sửa đổi 2 và trước đó không nêu rõ giả định về phạm vi trọng số đỉnh một cách rõ ràng. Per Vognsen đã chỉ ra trong một bình luận rằng giả định ngầm này có thể không hợp lý (cảm ơn!), Và tôi đồng ý. Ngay cả khi các trọng số tùy ý không cần thiết trong các ứng dụng, tôi đoán rằng câu trả lời này có thể loại trừ một số cách tiếp cận theo dòng lý luận sau: Hồi Nếu cách tiếp cận này có hiệu quả, nó sẽ đưa ra một thuật toán cho các trọng số tùy ý, loại trừ đóng cửa có thể được tính trong thời gian O ( n ² ).

Chỉnh sửa : Bản sửa đổi 4 và trước đó đã nêu hướng của các cạnh không chính xác.

Đây là một bản mở rộng nhận xét của tôi về câu trả lời của Tsuyoshi. Tôi nghĩ rằng câu trả lời tiêu cực cho câu hỏi có thể được thực hiện vô điều kiện.

Vấn đề này dường như yêu cầu các thao tác bổ sung trong trường hợp xấu nhất, ngay cả đối với các biểu đồ có cạnh . Do đó dường như không thể đạt được ràng buộc cần thiết.$\omega(n)$$O(n)$

Xét một đồ thị bao gồm các đỉnh , được sắp xếp trong một lưới. Các đỉnh trong mỗi hàng phụ thuộc vào chính xác hai đỉnh trong hàng trên. Họ này bao gồm các biểu đồ như thế này, để kết hợp các giá trị và phù hợp và sắp xếp các cạnh phù hợp.$G_{r,c}$$r \times c$$r$$r$$c$

Cụ thể, hãy để và . Ngoài ra, hãy để các trọng số của các đỉnh hàng trên cùng là các lũy thừa riêng biệt của 2.$r = (\log\ n)/2$$c = 2n/\log\ n$

Mỗi đỉnh trong hàng dưới cùng sau đó sẽ phụ thuộc vào các đỉnh ở hàng trên cùng. Theo như tôi có thể nói, sau đó tồn tại một DAG cụ thể với các giá trị khác nhau cho mỗi trọng số hàng dưới cùng, như vậy trung bình không thể tái sử dụng được yêu cầu cho mỗi khoản tiền này.$\sqrt{n}$$\omega(\log\ n)$

Nhìn chung, điều này mang lại một giới hạn thấp hơn cho số lượng bổ sung, trong khi số cạnh là .$\omega(n)$$2c(r-1) = O(n)$

Điểm có vẻ là thứ tự một phần cơ bản là dày đặc, nhưng DAG đại diện cho sự giảm quá độ của nó, có thể thưa thớt.

Điều này là sai và dựa trên sự hiểu lầm về câu hỏi. Cảm ơn Tsuyoshi đã kiên nhẫn chỉ ra lỗi của tôi. Bỏ đi trong trường hợp người khác mắc lỗi tương tự.

Nếu số lượng tiền thân trực tiếp của một nút được giới hạn bởi , thì thuật toán đầu tiên thực hiện sắp xếp theo cấu trúc liên kết, sau đó xử lý các nút theo thứ tự này sẽ thực hiện công việc. Đo lường số lượng người tiền nhiệm ngay lập tức được đề xuất bằng cách xem DAG dưới dạng một phần. Một mô hình với số lượng người tiền nhiệm bị ràng buộc có thể phù hợp với lịch sử sửa đổi, trong đó chỉ có một vài tệp được thay đổi bởi hầu hết các phiên bản.$k$

Vấn đề là trong trường hợp đặc biệt này , đối với mỗi nút có nhiều nhất tiền thân theo thứ tự tuyến tính cần xem xét, vì vậy điều này có thể được thực hiện với các bổ sung .$k$$O(k|V|)$

Loại sắp xếp theo yêu cầu thời gian , cung cấp cho bạn giới hạn tiệm cận mà bạn đang tìm kiếm. Nhưng trong ứng dụng bạn mô tả, số lượng bổ sung tuyến tính có khả năng chiếm ưu thế.$O(|V|+|E|)$

Cách tiếp cận này cũng sẽ hoạt động tốt nếu có một số nút có nhiều tiền thân ngay lập tức, miễn là chúng tương đối không thường xuyên.