Chẵn lẻ

là loại mạch có kích thước đa thức có độ sâu không đổi có cổng KHÔNG và cổng quạt và OR không giới hạn, trong đó đầu vào và cổng cũng có quạt không giới hạn. $AC^0$

Bây giờ hãy xem xét một lớp mới, gọi nó là giống như nhưng trong đó đầu vào và cổng có fanout nhiều nhất là . Lớp này rõ ràng trong . Trong thực tế, nó được chứa trong , như đã lưu ý ở đây . Do đó, PARITY rõ ràng không nằm trong . $AC^0_{bf}$ $AC^0$ $O(1)$ $AC^0$ $AC^0$ $AC^0_{bf}$

Có bằng chứng về chẵn lẻ mà không cũng trải qua cho ? Nói cách khác, có bằng chứng nào không sử dụng các kỹ thuật mạnh mẽ như bổ đề chuyển đổi hoặc phương pháp Razborov / Smolensky không? $\notin AC^0_{bf}$ $AC^0$

cc.complexity-theory circuit-complexity

— Adam Paetznick
nguồn

Cái này được gọi là

trong tài liệu:qwiki.stanford.edu/index.php/Complexity_Zoo:N#nc0

{N C}^{0}

$\mathsf{NC}^0$

— Hsien-Chih Chang 張顯之

Không, không, vì fanin không bị ràng buộc.

— domotorp

Ah, tôi đọc sai từ fanout. Cảm ơn đã chỉ ra.

— Hsien-Chih Chang 張顯

Bài viết liên quan của @Kaveh: cstheory.stackexchange.com/q/1824/1800 , được chuyển từ các bình luận bên dưới để tăng cường tiếp xúc.

— Hsien-Chih Chang 張顯

Nhân tiện, "fanout giới hạn" là gì?

— xxx ---

Câu trả lời:

Tôi có thể bỏ lỡ điều gì đó, nhưng không phải là giống như Công thức? Vì mỗi bit đầu vào có thể có ảnh hưởng đến tối đa số lượng cổng bị giới hạn, chúng ta có thể giả sử rằng mỗi cổng chỉ có một đầu ra (sau khi có thể sao chép một vài thứ) và chúng ta cũng có thể đẩy xuống không phải cổng. Chúng tôi biết rằng kích thước công thức tương đương là n ^ 2 (xem Troy J. Lee, " Kích thước công thức của PARITY ", 2007) và vì trên mỗi cấp độ của mạch chúng tôi chỉ có thể có cổng O (n), điều này cho thấy rằng chẵn lẻ không nằm trong . $AC^0_{bf}$ $AC^0_{bf}$

— động vật
nguồn

Vì vậy, theo "Công thức", bạn có nghĩa là công thức kích thước tuyến tính, phải không? và theo kích thước, ý bạn là kích thước công thức ...

— Alessandro Cosentino

Tôi nghĩ rằng câu trả lời của bạn là chính xác cuối cùng, nhưng lý luận là tinh tế hơn. Cổng fanout có thể được giảm bằng cách nhân đôi các phần của mạch, nhưng điều này làm tăng kích thước của công thức. (Kích thước công thức tương đương với số lượng dây đầu vào.) Giả sử rằng fanout cổng nhiều nhất là 2. Sau đó, để giảm fanout của cổng lớp dưới cùng, tôi cần nhân đôi mỗi cổng và mỗi đầu vào, nhân đôi kích thước của công thức. Lặp lại quá trình này cho mỗi lớp mang lại một công thức có kích thước

trong đó

là độ sâu mạch. Trong trường hợp của chúng tôi

là một hằng số nên kích thước công thức vẫn là tuyến tính.

O (2^{d} n)

$O(2^dn)$

d

$d$

d

$d$

— Adam Paetznick

Đây chính xác là những gì tôi muốn nói, xin lỗi nếu giải trình của tôi kém.

— domotorp

@Alessandro: Tôi xin lỗi nếu tôi hiểu nhầm câu hỏi của bạn. Nhưng ấn tượng đầu tiên của tôi là một người có thể thay đổi bất kỳ độ sâu d mạch kích thước vào độ sâu-d công thức (fanout 1) có diện tích khoảng : chỉ cần đi lớp-by-lớp bắt đầu từ phía dưới (bên cạnh các yếu tố đầu) lớp và lấy nhiều bản sao của cùng một cổng; tại mỗi lớp số lượng cửa có thể tăng ít nhất các yếu tố của . Điều này có nghĩa là bất kỳ công thức giới hạn dưới nào cho hàm ý ràng buộc thấp hơn cho các mạch $S$ $S^d$ $S$ $S$ $AC^0$ $S^{1/d}$ $AC^0$ . Vì vậy, thật khó để mong đợi bằng chứng ràng buộc thấp hơn dễ dàng hơn cho các công thức : trong thế giới của $AC^0$ $AC^0$ , là một hằng số. $d$

Btw ngôn ngữ của bạn (chuỗi có chính xác ) có một DNF tầm thường ( công thức độ sâu 2 ) với $X$ $1$ $n$ đơn thức.

— Stasys
nguồn

đối với tôi, dường như chúng ta có thể làm tốt hơn

vì fan-outs bị ràng buộc, chúng ta có thể có được

trong đó

là fan-out tối đa. Hơn nữa, vì mỗi bit đầu vào chỉ được sử dụng số lần giới hạn, nên kích thước của mạch (

) là tuyến tính.

S^{d}

$S^d$

k^{d} S

$k^dS$

k

$k$

S

$S$

— Kaveh

Một cách khác để thấy rằng

được chứa chặt chẽ trong

là lưu ý rằng vì mọi bit đầu vào đều có fanout nhiều nhất là k, có nhiều nhất là các cổng

trong lớp đầu tiên và

cổng trong lớp thứ hai và như vậy. Vì độ sâu không đổi, điều này có nghĩa là mạch có tổng số cổng

. Do đó, bất kỳ hàm

nào cần các mạch kích thước siêu tuyến tính đều không nằm trong

A C_{b f}^{0}

$AC^0_{bf}$

A C^{0}

$AC^0$

k n

$kn$

k^{2} n

$k^2n$

O (n)

$O(n)$

A C^{0}

$AC^0$

A C_{b f}^{0}

$AC^0_{bf}$

— Robin Kothari

Ai đó có thể cho tôi biết tại sao mô hình "không quá k bản sao của một biến đầu vào" này thú vị không? Ngay cả khi độ sâu không đổi. Trong bối cảnh nào một mô hình như vậy phát sinh? Tôi chỉ tò mò thôi.

— Stasys

@Stasys, cả câu hỏi của Adam và tôi đều phát sinh từ công việc trên lớp lượng tử

, được xác định mà không có cổng fanout.

Q A C^{0}

$QAC^0$

— Alessandro Cosentino

@ Adam: Cảm ơn, quả thật vậy, domotorp đã đề cập đến một phi

luận (Khrapchenko). Như cstheory.stackexchange.com/questions/1824/ trộm Robin Kothari đã quan sát, có một lập luận khác như vậy, đó là Krichevskii cho thấy hàm ngưỡng 2 cần các công thức có kích thước khoảng

. Tuy nhiên, tốt hơn, người ta biết rằng tất cả 16 hàm Boolean đối xứng đều yêu cầu các công thức có kích thước siêu tuyến tính. Vì vậy, câu hỏi của bạn chắc chắn được trả lời bằng "có".

A C^{0}

$AC^0$

n \log n

$n\log n$

— Stasys