Xây dựng đồ thị trong đó mỗi cặp đỉnh có một hàng xóm chung duy nhất

Đặt là đồ thị đơn giản trên n đỉnh ( n > 3 ) không có đỉnh bậc n - 1 . Giả sử rằng với hai đỉnh G bất kỳ , có một đỉnh duy nhất liền kề với cả hai đỉnh đó. Đây là một bài tập từ A Course in Combinatorics , van Lint và Wilson, để chứng minh rằng một biểu đồ như vậy là thường xuyên.$G$$n$$(n > 3)$$n − 1$$G$

Tuy nhiên, câu hỏi của tôi là liệu các biểu đồ thỏa mãn các ràng buộc nhất định có tồn tại hay không. Trong khi thảo luận về bài tập ban đầu trong một phiên giải quyết vấn đề, có người đã hỏi liệu chúng ta có thể đưa ra một ví dụ về biểu đồ trong đó mỗi cặp đỉnh có một lân cận chung duy nhất và không có đỉnh toàn cầu. Chúng tôi cũng không thể đưa ra một ví dụ cụ thể hoặc quy trình xây dựng, chúng tôi cũng không thiết lập một bằng chứng rằng không có đồ thị nào có các tính chất này.

Bất kỳ đề xuất?

Lưu ý: như để chứng minh rằng một biểu đồ như vậy là thường xuyên, hóa ra nó khá đơn giản, ý tưởng sơ bộ là ghép các hàng xóm của mỗi cặp đỉnh bằng cách sử dụng các tiêu chí lân cận chung duy nhất để thiết lập thực tế rằng mọi cặp các đỉnh có cùng một mức độ, và sau đó là một đối số độ xuyên sáng, với sự trợ giúp của ràng buộc đỉnh không toàn cầu, cho chúng ta rằng đồ thị là thường xuyên.

Nếu bạn thoát khỏi điều kiện "không có đỉnh bậc ", các đồ thị có thuộc tính mà mỗi hai đỉnh có chính xác một hàng xóm chung chính xác là các đồ thị hữu nghị (một tập hợp các hình tam giác được dán với nhau ở một đỉnh chung); như bài viết được liên kết mô tả, đây là một định lý của Erdős, Rényi và Sós. Nhưng rõ ràng, tất cả các đồ thị đó có một đỉnh của mức độ n - 1 ; duy nhất thường xuyên là một hình tam giác. Vì vậy, câu trả lời cho câu hỏi của bạn là, không, một đồ thị với tài sản hàng xóm chung và không có một degree- n - 1 đỉnh không tồn tại.$n-1$$n-1$$n-1$