Là đồ thị cạnh-đỉnh của các đa giác (phong nha) mở rộng?

Câu hỏi này được lấy cảm hứng từ phỏng đoán Hirsch đa thức (PHC). Cho một đa giác -facet P trong R d , khoảng cách quang phổ của đồ thị đỉnh-đỉnh của nó (gọi là G ) thấp hơn giới hạn bởi Ω ( 1 / p o l y ( n ) ) ? Lưu ý rằng đồ thị chu kỳ trên n đỉnh cho thấy, ngay cả đối với d = 2 , khoảng cách phổ có thể nhỏ bằng O ( 1 / p o l y ( n ) $n$$P$$\mathbb R^d$$G$$\Omega(1/\mathrm{poly}(n))$$n$$d=2$$O(1/\mathrm{poly}(n))$; do đó, ràng buộc phỏng đoán - nếu đúng - sẽ gần như chặt chẽ.

Một câu trả lời có sẽ ngụ ý PHC. Trên thực tế, nó cũng có nghĩa là các chương trình tuyến tính có thể được giải quyết một cách hiệu quả chỉ bằng cách đi bộ ngẫu nhiên trên các đỉnh đa giác, và thuật toán này thậm chí không chú ý nhiều đến hàm mục tiêu! Điều này có vẻ quá tốt là đúng.

Vì vậy, tình trạng của vấn đề này là gì: mở (như PHC), hoặc sai? Nếu sai, có những mẫu đơn giản?

Lưu ý : Tôi mới nhận ra về các biến chứng thông thường liên quan đến việc xác định các bộ mở rộng: không cần phải là thường xuyên hoặc lưỡng cực. Tôi hy vọng rằng cả hai vấn đề kỹ thuật này đều có thể được khắc phục bằng các cách tiêu chuẩn và đặc biệt, chúng không khiến câu hỏi của tôi trở nên tầm thường. (Xin hãy sửa tôi nếu tôi sai!)$G$

Đối với đa giác 0/1 (tất cả các tọa độ đỉnh là 0 hoặc 1), điều này không được biết là đúng. Có một phỏng đoán của Mihail và Vazirani rằng sự mở rộng cạnh của đồ thị của đa giác 0/1 là ít nhất một. Thông tin thêm được mô tả trong một bài báo của Volker Kaibel .

Tôi cần lưu ý hai điều. (1) Với 0/1-polytopes, phỏng đoán Hirsch là đúng . (2) Khi thực hiện một bước đi ngẫu nhiên trên các đỉnh của một đa giác, chúng ta cần quan tâm đến sự thoái hóa có thể. Một đỉnh có thể tương ứng với rất nhiều căn cứ, và vì vậy việc đi bộ có thể ở cùng một đỉnh nếu chúng ta thực hiện một bước đi ngẫu nhiên trên các căn cứ. Nếu chúng ta muốn thực hiện một bước đi ngẫu nhiên trên các đỉnh, chúng ta cần có một quy trình cung cấp một đỉnh liền kề ngẫu nhiên.

$n^{[d/2]}$

Tôi đã chứng minh sự tách biệt 1 / poly (n) cho các đa giác "kép sang lân cận". (Đây là phát súng đầu tiên của tôi vào phỏng đoán Hiresch đa thức ".)" Đường kính của đồ thị của đa giác lồi và lý thuyết f-vector "Hình học ứng dụng và toán học rời rạc, 387 ném411, DIMACS Ser. Toán học rời rạc. , 4, Amer. Toán. Soc., Providence, RI, 1991.