Cấu trúc dữ liệu cho các truy vấn sản phẩm chấm tối thiểu

Hãy xem xét được trang bị sản phẩm chấm tiêu chuẩn và vectơ ở đó: . Chúng tôi muốn xây dựng cấu trúc dữ liệu cho phép truy vấn theo định dạng sau: đã cho output . Có thể vượt quá thời gian truy vấn O (nm) tầm thường không? Ví dụ: nếu n = 2 , thì ngay lập tức lấy O (\ log ^ 2 m) .$\mathbb{R}^n$$\langle \cdot, \cdot \rangle$$m$$v_1, v_2, \ldots, v_m$$x \in \mathbb{R}^n$$\min_i \langle x, v_i \rangle$$O(nm)$$n = 2$$O(\log^2 m)$

Điều duy nhất tôi có thể đưa ra là sau đây. Đó là hậu quả tức thời của bổ đề Johnson-Lindenstrauss rằng với mọi $\varepsilon > 0$ và phân phối $\mathcal{D}$ trên $\mathbb{R}^n$ có ánh xạ tuyến tính $f \colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^{O(\log m)}$ (có thể được đánh giá theo thời gian $O(n \log m)$ ) sao cho $\mathrm{Pr}_{x \sim \mathcal{D}}\left[\forall i \quad \langle x, v_i \rangle - \varepsilon (\|x\| + \|v_i\|)^2 \leq \langle f(x), f(v_i)\rangle \leq \langle x, v_i \rangle + \varepsilon (\|x\| + \|v_i\|)^2 \right] \geq 1 - \varepsilon$ . Vì vậy, trong thời gian $O((n + m) \log m)$ chúng ta có thể tính toánmột cái gì đó theo nghĩa nào đó gần với $\min_i \langle x, v_i \rangle$ đối với hầu hết các $x$ (ít nhất là nếu các chỉ tiêu $\|x\|$ và $\|v_i\|$ nhỏ).

CẬP NHẬT Các ràng buộc nêu trên có thể được làm sắc nét đôi chút với thời gian truy vấn $O(n + m)$ nếu chúng ta sử dụng băm nhạy cảm cục bộ. Chính xác hơn, chúng tôi chọn $k := O(\frac{1}{\varepsilon^2})$ các vectơ Gaussian độc lập $r_1, r_2, \ldots, r_k$ . Sau đó, chúng tôi ánh xạ $\mathbb{R}^n$ thành $\{0,1\}^k$ như sau: $v \mapsto (\langle r_1, v \rangle \geq 0, \langle r_2, v \rangle \geq 0, \ldots, \langle r_k, v \rangle \geq 0)$ . Sau đó, chúng ta có thể ước tính góc giữa hai vectơ trong một lỗi cộng gộp $\varepsilon$ bằng cách tính toán $\ell_1$ trong hình ảnh của ánh xạ này. Do đó, chúng tôi có thể ước tính các sản phẩm chấm trong một lỗi phụ gia$\varepsilon \|x\| \|v_i\|$trong thời gian $O(\frac{1}{\varepsilon^2})$ .

Xem xét trường hợp đặc biệt trong đó bạn chỉ muốn xác định xem vectơ truy vấn của bạn có trực giao với một số vectơ trong bộ sưu tập được xử lý trước của bạn không. (Nghĩa là, bạn muốn xác định xem , trong đó các vectơ đang thảo luận có hệ số không âm.) Trường hợp này đã rất thú vị.$\min_i \langle x, v_i \rangle = 0$

Giả sử bạn có thể trả lời các truy vấn trong thời gian cho một số , với tiền xử lý ( Độ của đa thức không nên phụ thuộc vào hoặc hoặc ). δ > 0 m O ( 1 ) n O ( 1 ) m n $n^{O(1)} m^{1-\delta}$$\delta > 0$$m^{O(1)} n^{O(1)}$$m$$n$$\delta$

Trong bài báo "Một thuật toán mới cho sự hài lòng ràng buộc 2 tối ưu và ý nghĩa của nó", tôi đã quan sát thấy rằng cấu trúc dữ liệu như vậy thực sự sẽ cho phép bạn giải quyết CNF-SAT trong thời gian trong một thời gian , Trong đó là số lượng biến. Điều này sẽ bác bỏ "Giả thuyết thời gian theo cấp số nhân mạnh mẽ" rằng k-SAT đòi hỏi cơ bản là thời gian cho không giới hạn . α < 1 v 2 n$2^{\alpha v}$$\alpha < 1$$v$$2^n$$k$

Để xem tại sao, giả sử thời gian tiền xử lý được giới hạn bởi . Xét công thức CNF với biến và mệnh đề. Chúng tôi chia bộ biến thành hai phần và có kích thước và , tương ứng. Liệt kê tất cả các phép gán có thể cho các biến trong các phần (lần lượt nhận và ). Liên kết mỗi bài tập một phần với vectơ -bit trong đó iff the F v n P 1 P 2 v ( 1 - 1 / ( 2 c ) ) v / ( 2 c ) 2 v $(nm)^c$$F$$v$$n$$P_1$$P_2$$v(1-1/(2c))$$v/(2c)$ 2 v / ( 2 c ) A i n w i w i [j]=1$2^{v(1-1/(2c))}$$2^{v/(2c)}$$A_i$$n$$w_i$$w_i[j]=1$$j$thứ khoản của không được thỏa mãn bởi . Vì vậy, chúng tôi có hai danh sách các vectơ bit theo cấp số nhân.A $F$$A_i$

Lưu ý rằng là thỏa đáng nếu có một vectơ từ một bài tập trên và một vectơ từ một bài tập trên sao cho .w 1 P 1 w 2 P 2 ⟨ w 1 , w 2 ⟩ = $F$$w_1$$P_1$$w_2$$P_2$$\langle w_1, w_2 \rangle = 0$

Bây giờ hãy để và tiền xử lý cấu trúc dữ liệu giả định với tất cả các vectơ từ phần . Điều này mất thời gian, theo giả định. Chạy thuật toán truy vấn trên tất cả các vectơ từ các bài tập trên phần . Theo giả định, việc này mất . Đặt . P 2 n 2 v / 2 P 1 2 v ( 1 - $m=2^{v/(2c)}$$P_2$$n2^{v/2}$$P_1$ α=1-$2^{v(1-1/(2c))} \cdot n^{O(1)} m^{1-\delta} = n^{O(1)} 2^{v - \delta v/(2c)}$$\alpha = 1 - \delta/(2c)$

Có lẽ có thể có được tiền xử lý hiệu quả và thời gian truy vấn với các kỹ thuật hiện có. Các thuật toán CNF-SAT nổi tiếng nhất không loại trừ nó. (Họ có được một cái gì đó giống như .) Tuy nhiên, để tính toán là hơi mạnh - trong thiết lập này, nó sẽ như thế nào giải quyết MAX CNF-SAT. 2 n - n / log n phút i ⟨ x , v i$n^{O(1)} m^{1-1/(\log \log m)}$$2^{n-n/\log n}$$\min_i \langle x, v_i\rangle$

Đây là một ý tưởng cho câu trả lời chính xác, mà tôi nghi ngờ Chao Xu có thể đang ám chỉ. Trước hết hãy quan sát rằng chúng ta cũng có thể bình thường hóa , như Chao chỉ ra. Bây giờ hãy xem xét siêu phẳng bình thường theo hướng . Mục tiêu là tìm điểm gần nhất với siêu phẳng này. Theo tính đối ngẫu, điều này tương ứng với một truy vấn bắn tia trong sự sắp xếp của các siêu phẳng để tìm mặt phẳng gần nhất "phía trên" điểm truy vấn. Vì điều này có thể được xử lý trước, nên độ phức tạp chính là vị trí điểm, và do đó, vấn đề của bạn giờ đã được giảm xuống thành độ phức tạp của việc thực hiện vị trí điểm trong sự sắp xếp của siêu phẳng. Sử dụng các phần cắt, điều này có thể được thực hiện trong thời gian trong không gian .h x O ( log n ) n $x$$h$$x$$O(\log n)$$n^d$