Là giải quyết tối ưu NP-Rubik's Cube NP-hard?

Hãy xem xét khái quát hóa rõ ràng của khối Rubik . Có phải NP-khó tính toán chuỗi di chuyển ngắn nhất để giải một khối được xáo trộn nhất định, hay có một thuật toán đa thức thời gian? $n\times n\times n$

[Một số kết quả liên quan được mô tả trong bài đăng trên blog gần đây của tôi .]

— Jeffε
nguồn

Tôi đoán rằng đầu vào được đưa ra là sáu lưới n × n được tạo từ {1, ', 6}. Là vấn đề trong NP? Có một đa thức trên dễ dàng bị ràng buộc về số lượng di chuyển trong phiên bản n × n × n của khối Rubik không?

— Tsuyoshi Ito

Cảm ơn vì thông tin. Có bất kỳ tài liệu tham khảo?

— Tsuyoshi Ito

Vấn đề có trở nên dễ dàng hơn không nếu nó thoải mái khi "Đưa ra một cấu hình, tạo ra một giải pháp có nhiều nhất là Số di chuyển của Chúa (n, n, n)"? Đó là những gì thuật toán giải pháp của Rubik đã làm. Họ đã không tìm kiếm ngắn nhất bởi vì nó sẽ mất quá nhiều thời gian.

— Aaron Sterling

Chúng ta biết rằng đường kính của không gian cấu hình có thể truy cập là

Θ (n^{2})

$\Theta(n^2)$

— Andy Drucker

@Andy: Câu hỏi hay! ("Chức năng của Chúa là gì?")

— Jeffε

Câu trả lời:

Một trong những bài báo của tôi vừa được đăng lên arXiv và giải quyết câu hỏi này: giải quyết tối ưu khối Rubik là NP-đầy đủ.

— Mikhail Rudoy
nguồn

Xin chúc mừng!!

— Jeffε

$n \times O(1) \times O(1)$ $\mathsf{NP}$ $n \times n \times n$ $\Theta(n^2/\log n)$

Ngọt!

$n \times n \times n$ $n$ $\mathsf{NP}$

— Andy Drucker
nguồn

n \times n \times n

$n \times n \times n$

Ω (n^{2} / \log n)

$\Omega(n^2/\log n)$

Có thể dễ dàng có một lỗi trong việc này, vì vậy xin vui lòng cho tôi biết nếu bạn phát hiện ra một lỗi.

Có vẻ như câu trả lời là không, hoặc ít nhất là vấn đề này được chứa trong NP. Lý do đằng sau điều này rất đơn giản. Ý tưởng là xây dựng từ một câu hỏi khác: "Bạn có thể nhận được giữa cấu hình A và cấu hình B trong các bước S hoặc ít hơn không?"

$O(n^2)$ $O(n^2)$

$S$

$B_{hard}$ $n_{hard} \approx n^2$ $B_{hard}$ $S'$ $B_{hard}$ $n_{hard}$ $B_{hard}$ $S'$ $n_{hard} - S'$ $n \times n \times n$

$n_{hard} - S'$ $S$ $S_0$ $S' = n_{hard} - S_0$ $S = S_0$ ), sau đó chúng tôi có một nhân chứng rằng giải pháp này là tối ưu (bao gồm các nhân chứng của hai vấn đề NP liên quan đến giới hạn).

$B_{hard}$ $O(n^2)$

$n_{hard}$ $n_{hard} = \mbox{God's number}(n)$

$B_{hard}$ $n_{hard} = \mbox{God's number}(n)$

— Joe Fitzsimons
nguồn

Ý tưởng gọn gàng. Tuy nhiên, điều này không cho rằng con đường ngắn nhất giữa hai điểm cách xa nhau có thể được thực hiện để đi qua bất kỳ điểm nào khác. Điều đó rõ ràng đúng với các điểm trên các mặt cầu (nếu bạn bay từ cực Bắc đến cực Nam, bạn cũng có thể bay bằng Tahiti), nhưng có lý do nào để nó đúng với cấu hình của các khối Rubik không?

— Peter Shor

B_{h a r d}

$B_{hard}$

n_{h a r d}

$n_{hard}$

B_{h a r d}

$B_{hard}$

A

$A$

B_{h a r d}

$B_{hard}$

B_{h a r d}

$B_{hard}$

n_{h a r d}

$n_{hard}$

B_{h a r d}

$B_{hard}$

B_{h a r d}

$B_{hard}$

n_{h a r d}

$n_{hard}$

n_{h a r d} - S^{'} \leq S_{0} \leq n_{h a r d} + S^{'}

$n_{hard}-S' \leq S_0 \leq n_{hard} + S'$

S_{0}

$S_0$

S_{0}

$S_0$

_{h a r d}

$_\mathrm{hard}$

@Joe: đừng lo lắng về việc đăng câu trả lời nửa vời. Tôi đã làm điều tương tự (và tôi không phải là người duy nhất). Và tôi không tin rằng phương pháp này là hoàn toàn vô giá trị. Tôi hy vọng nó sẽ không hoạt động để hiển thị tính toán khoảng cách chính xác không phải là NP-hard, nhưng có lẽ nó có thể nói điều gì đó về việc xấp xỉ nó.

— Peter Shor