Một biến thể thú vị của vấn đề khớp tối đa

Cho một đồ thị $G(V,E)$ , vấn đề phù hợp tối đa cổ điển là lựa chọn các tập con tối đa cạnh $M$ st, đối với mỗi cạnh $(u,v) \in M$ , $d(u)=d(v)=1$ .

Có ai đã nghiên cứu các biến thể sau đây? Với mỗi cạnh $(u,v) \in M$ , $\left( \left(d(u) < c\right) \lor \left(d(v) < c\right) \right)$ giữ, trong đó c là hằng số. Chúng tôi gọi ràng buộc này là một ràng buộc độ.

Ràng buộc cổ điển là sự kết hợp về mức độ với hằng số 1. Biến thể mới là sự phân biệt về mức độ với hằng số $c$ .

Vấn đề trên $c=2$ đã là $NP-complete$ như được hiển thị bởi Jukka Suomela. Tôi quan tâm đến các thuật toán gần đúng tiềm năng. Một thuật toán tham lam đơn giản là chọn sơ đồ con sao tối đa lặp đi lặp lại cho đến khi không có sơ đồ con sao (nghĩa là không có cạnh (một ngôi sao đặc biệt)) có thể được chọn. Nhưng thuật toán này thực hiện kém ngay cả khi $G$ là cây khi $c=3$ . Có một ngôi sao bên trong có tâm có độ $x$ và có $x$ sao ngoài mỗi tâm có độ $x$và kết nối với trung tâm của ngôi sao bên trong. Giá trị tối ưu là $2*x+(x-2)*(x-1)$ bằng cách chọn $x-2$ cạnh từ mỗi $x-2$ sao ngoài và 2 sao ngoài hoàn chỉnh. Giá trị được tạo ra bởi thuật toán thủy sinh là $x+1*x$ bằng cách chọn ngôi sao bên trong và một cạnh từ mọi ngôi sao bên ngoài.

Thuật toán tham lam trên là xấp xỉ, trong đón=| V| . Tôi muốn tìm thuật toán xấp xỉ tốt hơn của thuật toán này hoặc chứng minh độ cứng của xấp xỉ.$2\sqrt{n-1}$$n=|V|$

Hơn nữa, tôi muốn biết lớp phức tạp của vấn đề này trong khuôn khổ của độ phức tạp được tham số hóa. Có lẽ nó mang thuật toán tham số cố định hợp lý.

Cảm ơn rất nhiều cho nhận xét của bạn và trả lời trước. :-)

(Vì dường như kết nối không hoàn toàn rõ ràng, tôi sẽ viết một phiên bản mở rộng của các ý kiến ​​trên như một câu trả lời.)

Tôi sẽ tập trung vào trường hợp . Trong trường hợp đó, vấn đề có thể được lặp lại như sau:$c = 2$

• Đặt là đồ thị. Nhiệm vụ là tìm tối đa kích thước M ⊆ E như vậy mà hạn chế sau đây được thỏa mãn: cho mỗi { u , v } ∈ M , hoặc u là sự cố cho ít nhất 1 cạnh trong M , hoặc v là sự cố cho ít nhất 1 cạnh trong M , hoặc cả hai.$G = (V,E)$$M \subseteq E$$\{u,v\} \in M$$u$$1$$M$$v$$1$$M$

Tương đương:

• Biểu đồ con gây ra bởi phải có thuộc tính rằng tất cả các lân cận của một nút không có lá (độ> 1) là các nút lá (độ = 1).$M$

Tương đương:

• Biểu đồ con do tạo ra bao gồm các sao tách rời nút.$M$

Trong phần tiếp theo tôi sẽ diễn giải các nút chưa từng có (các nút không xảy ra sự cố với bất kỳ cạnh nào trong ) là các sao có 0 cạnh. Do đó, một giải pháp khả thi sẽ phân chia tập hợp các nút thành các sao tách rời nút.$M$

Bây giờ nếu số sao như vậy là , thì số cạnh trong M chính xác là n - k : có các nút lá n - k được kết nối với tâm sao. Do đó, tối đa hóa số cạnh trong M tương đương với tối thiểu hóa số lượng sao.$k$$M$$n-k$$n-k$$M$

Bây giờ thật đơn giản để thấy rằng chúng ta có một giải pháp với sao như vậy nếu chúng ta có một tập hợp kích thước k :$k$$k$

1. Giả sử rằng chúng ta được cho sao như vậy. Sau đó, chúng ta có thể tìm thấy một tập hợp kích thước k : chỉ cần lấy tâm của các ngôi sao (trong một ngôi sao có 1 cạnh bạn có thể chọn một nút tùy ý).$k$$k$
2. Giả sử rằng chúng ta được cung cấp một tập hợp thống trị với | D | = k . Sau đó, chúng tôi chỉ đơn giản là có thể kết nối mỗi nút trong V ∖ D với một nút trong D . Các cạnh này tạo thành một gia đình k sao.$D$$|D| = k$$V \setminus D$$D$$k$

Do đó giải quyết vấn đề một cách tối ưu trong một gia đình đồ thị nào đó là chính xác khó như việc tìm kiếm một thống trị bộ tối thiểu trong gia đình graph cùng F . Cụ thể, vấn đề là NP-hard ngay cả trong trường hợp đồ thị lưỡng cực.$F$$F$

(Tuy nhiên, (trong) các kết quả gần đúng liên quan đến các tập hợp thống trị không thể được áp dụng trực tiếp tại đây. Về bản chất, chúng tôi đã thay đổi hàm mục tiêu từ thành max n - | D | .)$\min |D|$$\max n-|D|$