Số lượng các lớp tương đương trong các ngôn ngữ thông thường là một hàm của kích thước DFA

Câu hỏi này liên quan đến một câu hỏi gần đây của Janoma .

Lý lịch

Trong chương trình hạn chế, một thường xuyên toàn cầu hạn chế trên một miền là một cặp với một tuple của các biến (phạm vi) và một DFA trên miền . Việc gán cho thỏa mãn nếu chấp nhận chuỗi . $c$ $D$ $(s, M)$ $s$ $M$ $D$ $\theta$ $s$ $c$ $M$ $\theta(s_1)\theta(s_2)\ldots\theta(s_n)$

Dưới đây, giả sử rằng miền là cố định. Xác định mối quan hệ tương đương trên tập hợp chuỗi sao cho nếu với mọi DFA hoặc hoặc . Theo trực giác, hai chuỗi tương đương iff không có DFA có thể phân biệt chúng. Nếu đó là sự thật, thì họ cũng đáp ứng các ràng buộc thông thường tương tự . $D$ $\sim$ $T = D^{|s|}$ $a \sim b$ $M$ $a, b \in L(M)$ $a, b \not\in L(M)$

Nếu chúng ta không hạn chế các DFA theo bất kỳ cách nào, thì tập hợp các lớp tương đương chỉ là chínhTôi quan tâm đến số lượng các lớp tương đương wrt. là một hàm của số trạng thái mà chúng ta cho phép DFA. Rõ ràng, nếu (bỏ qua các hằng số) thì. (Tất nhiên, ở đây sẽ là một hàm của .) $T/{\sim}$ $T$ $\sim$ $n$ $n = |D|^{|s|}$ $|T/{\sim}| = |T|$ $n$ $|s|$

Câu hỏi

nhỏ nhất mà? $n$ $|T/{\sim}| = |T|$
Điều gì xảy ra dưới đó? Đặc biệt,
- có một sao cho ? $n$ $|T/{\sim}| = O(|s|^{|D|})$
- có một sao cho ? $n$ $|T/{\sim}| = O(|s| \times |D|)$

Động lực của tôi cho câu hỏi này là việc có một số lớp tương đương ( ) như thế này đã cho tôi một trường hợp có thể giải quyết được các vấn đề ràng buộc với các ràng buộc về tim mạch. Bây giờ tôi đang cố gắng xem liệu một cái gì đó dọc theo những dòng này có thể được thực hiện cho các ràng buộc thông thường. $|s|^{|D|}$

Chỉnh sửa : Cũng lưu ý câu trả lời này của Hermann Gruber cho câu hỏi được tham chiếu ở trên cùng. Các giới hạn trong bài viết liên kết câu trả lời sẽ mang lại một sao cho câu trả lời cho câu hỏi 1 phải là , nhưng nó không rõ ràng đối với tôi. $k$ $\geq k$

— Evgenij Thorstensen
nguồn

Trả lời câu hỏi 1

nhỏ nhất mà? $n$ $|T/{\sim}|=|T|$

Chúng ta có trong đó là số nhỏ nhất của trong bất kỳ DFA nào chấp nhận một trong và , nhưng không chấp nhận một trong hai. Giới hạn trên được biết đến nhiều nhất trên là (xem một số slide của Jeffrey Shallit )

n = max_{| w | = | x | = s, w \neq x} s e p (w, x)

$n=\max_{|w|=|x|=s,\\ w\ne x}\mathrm{sep}(w,x)$

s e p (w, x)

$\mathrm{sep}(w,x)$

w

$w$

x

$x$

n

$n$

$n=O(s^{2/5}(\log s)^{3/5})$ .

mà đã thu được trong

Robson, JM , Tách chuỗi bằng automata nhỏ , Inf. Quá trình. Lett. 30, số 4, 209-214 (1989). ZBL0666.68051 .

— Bjørn Kjos-Hanssen
nguồn