Tìm một mặt phẳng cắt chia đều một khối đa diện đều

Nói rằng chúng ta có một khối đa diện ở dạng tiêu chuẩn:

\begin{aligned} A x = b \\ x \geq 0 \end{aligned}

$\begin{equation*} \begin{array}{rl} \mathbf{A}\mathbf{x} = \mathbf{b} \\\\ \mathbf{x} \ge 0 \end{array} \end{equation*}$

Có phương pháp nào được biết để tìm một siêu phẳng phân chia khối đa diện theo cách mà số đỉnh trên mỗi mặt của siêu phẳng gần bằng nhau không? (tức là một thuật toán giảm thiểu sự khác biệt tuyệt đối của các số lượng đỉnh ở hai bên của phần tách). $\mathbf{d} \mathbf{x} +d_0= 0$

Ngoài ra, có bất kỳ kết quả được biết đến liên quan đến sự phức tạp của vấn đề này?

Phụ lục: Hạn chế các loại cắt giảm:

Đây là một biến thể của vấn đề ban đầu với hy vọng rằng nó dễ giải quyết hơn vấn đề ban đầu:

Có cách nào để tính toán hoặc ước tính một cách hiệu quả cho tọa độ một siêu phẳng có dạng sẽ mang lại sự khác biệt tuyệt đối thấp nhất của các số lượng đỉnh ở hai bên của sự phân chia không? Theo hiệu quả, tôi có nghĩa là bất cứ điều gì hiệu quả hơn so với liệt kê đầy đủ của các hồng y đỉnh cho tất cả các phân chia có thể có như vậy. $i$ $d_ix_i + d_0 = 0$

Lưu ý: Sau một vài ngày tiến bộ, tôi cũng đã đăng câu hỏi này tại MathOverflow .

ds.algorithms linear-programming linear-algebra

— Amelio Vazquez-Reina
nguồn

Không phải ai cũng có thể chứng minh đây là vấn đề NP-hard sao?

— Peter Shor

Cảm ơn @Peter. Một bằng chứng sẽ là tuyệt vời. Điều đó nói rằng, tôi cho rằng vấn đề là khó khăn, và tôi nghĩ rằng tôi quan tâm nhiều hơn đến thuật toán phỏng đoán hoặc thuật toán gần đúng. Động lực đằng sau ý tưởng hạn chế các loại cắt giảm là một phần để xem liệu có các biến thể dễ dàng hơn của vấn đề chung mà chúng ta đã biết một giải pháp hoặc thuật toán gần đúng hay không.

— Amelio Vazquez-Reina

Làm thế nào về một cái gì đó dọc theo các dòng này (không chắc chắn nếu nó hoạt động) - Chúng tôi biết việc đếm số lượng khớp lưỡng cực tối đa là # P-hard. Chúng tôi cũng biết rằng một chương trình tuyến tính để tìm một kết hợp lưỡng cực tối đa là hoàn toàn không có cấu trúc và do đó, bất kỳ giải pháp khả thi cơ bản / điểm góc nào là không thể thiếu. Đối với một vấn đề khớp lưỡng cực tối đa, hãy tìm giá trị của kết quả khớp. Xây dựng một chương trình tuyến tính với ràng buộc là bất kỳ giải pháp nào cũng phải có giá trị tối ưu. Sau đó, mỗi điểm góc là một kết hợp. Có thể phân chia nhiều lần đồng nghĩa với việc bạn sẽ có thể đếm số lượng các trận đấu.

— Chọn

Đừng bận tâm. Người ta cũng sẽ phải có thể đếm số đỉnh được thêm vào bởi mặt phẳng cắt.

— Chọn

-2

Tôi không thể nhớ cách phân tích để làm điều này!

Nhưng đây là một vấn đề cổ điển cho lập trình di truyền! Nếu bạn quen thuộc với nó, bạn có thể sử dụng một vectơ chuẩn hóa ở trung tâm của khối đa diện mô tả mặt phẳng cắt.

Vì vậy, dân số của bạn là một tập hợp các vectơ chuẩn hóa [x, y, z, ...] và là hàm phù hợp, bạn sử dụng sự khác biệt giữa 2 khối lượng được chia!

Vì vậy, nếu sự khác biệt có xu hướng bằng không "phù hợp" hơn là vectơ / mặt phẳng của bạn!

— gậy eduardo
nguồn

Xin lỗi, bạn có thể nói lại mà không sử dụng ngôn ngữ lập trình di truyền không? "Dân số" là gì? "Chức năng phù hợp" là gì?

— Jeffε