Phân cụm đồng thuận bằng cách sử dụng tập hợp

Tôi đã đăng câu hỏi này cách đây một thời gian trên MathOverflow , nhưng theo hiểu biết tốt nhất của tôi thì nó vẫn mở, vì vậy tôi đang đăng lại nó ở đây với hy vọng ai đó có thể đã nghe về nó.

Báo cáo vấn đề

Đặt , và là ba phân vùng thành phần không trống (ký hiệu là 's, ' và 's) của tập { }. Tìm hai hoán vị và thu nhỏ $P$ $Q$ $R$ $p$ $P_h$ $Q_i$ $R_j$ $1,2,\ldots,n$ $\pi$ $\sigma$

\sum_{i = 1}^{p} | P_{i} \cup Q_{π_{i}} \cup R_{σ_{i}} | .

$\sum_{i=1}^p\left|P_i\cup Q_{\pi_i}\cup R_{\sigma_i}\right|.$

Câu hỏi

1) Sự phức tạp của vấn đề này (hoặc của vấn đề quyết định tương ứng) là gì?

2) Nếu vấn đề thực sự có thể giải quyết được trong thời gian đa thức, liệu nó có còn đúng với bất kỳ số của các phân vùng không? $k\geq 4$

Công việc trước

Berman, DasGupta, Kao và Wang ( http://dx.doi.org/10.1016/j.ipl.2007.06.008 ) nghiên cứu một vấn đề tương tự cho các phân vùng , nhưng sử dụng cặp đôi thay vì ở trên tổng Họ chứng minh rằng vấn đề là MAX-SNP-hard cho , ngay cả khi mỗi phần chỉ có hai yếu tố, bằng cách giảm MAX-CUT trên đồ thị khối cho trường hợp đặc biệt của vấn đề của họ và đưa ra -appro xấp xỉ cho bất kỳ . Cho đến nay, tôi đã không thể tìm thấy vấn đề của mình trong tài liệu, hoặc để điều chỉnh bằng chứng của họ. $k$ $\Delta$ $\cup$ $k=3$ $(2-2/k)$ $k$

Tủ con dễ dàng

Dưới đây là một số nhóm con tôi đã tìm thấy có thể giải được trong thời gian đa thức:

trường hợp ; $k=2$
trường hợp , với mọi ; $p=2$ $k$

Hơn nữa, khi , không có hai phần bằng nhau và tất cả các phần có kích thước , chúng ta có giới hạn dưới (Tôi không biết nó có chặt không). $k=3$ $2$ $3p+1$

co.combinatorics np-hardness

— Anthony Labarre
nguồn

Vấn đề là NP-hard. Bằng chứng là bằng cách giảm từ vấn đề sau:

$G$ $N$ $N$ $G$

$G$ $A_1$ $A_2$ $A_3$ $G$ $E_{ij}$ $A_i$ $A_j$ $1,\dotsc,N$

$n = |E(G)| + M$ $M$ $M = 10 |E(G)|$ $p = N + 1$ $|E(G)|$ $\{1,\dotsc,n\}$ $G$ $P$ $P_i$ $i=1,\dotsc,N$ $i$ $A_1$ $E_{1,2} \cup E_{1,3}$ $P_{N+1}$ $E_{2,3} \cup \{|E(G)| + 1, \dotsc, |E(G)| + M\}$ $Q$ $A_2$ $A_1$ $R$ $A_3$ $A_1$

$3|E(G)| - 3N + M$ $G$ $N$ $M$ $2 M$ $P_{N+1}$ $Q_{N+1}$ $R_{N+1}$ $|E(G)| + M$ $2 |E(G)| - 3 N$ $P_i$ $Q_j$ $P_i$ $R_k$ $Q_j$ $R_k$ $N$ $G$

— Mohammad
nguồn