Độ phức tạp của tính toán biến đổi Fourier rời rạc?

Độ phức tạp (trên RAM số nguyên tiêu chuẩn) của việc tính toán biến đổi Fourier rời rạc tiêu chuẩn của một vectơ số nguyên là gì?$n$

Thuật toán cổ điển cho các biến đổi Fourier nhanh , không phù hợp ^{[1] được} quy cho Cooley và Tukey, thường được mô tả là chạy trong thời gian . Nhưng hầu hết các phép toán số học được thực hiện trong thuật toán này bắt đầu bằng các gốc đơn vị thứ phức tạp , là (đối với hầu hết ) không hợp lý, do đó việc đánh giá chính xác trong thời gian không đổi là không hợp lý. Vấn đề tương tự phát sinh với thuật toán thời gian ngây thơ (nhân với ma trận Vandermonde của các gốc phức tạp của sự thống nhất).n n O ( n 2$O(n \log n)$$n$$n$$O(n^2)$

Thậm chí không rõ làm thế nào để thể hiện chính xác đầu ra của DFT (dưới bất kỳ hình thức hữu ích nào). Nói cách khác, không rõ ràng rằng DFT điện toán là thực sự có thể!

Vì vậy, giả sử chúng ta chỉ cần bit chính xác trong mỗi giá trị đầu ra. Sự phức tạp của việc tính toán biến đổi Fourier rời rạc, như là một hàm của và ? (Để cụ thể, hãy thoải mái cho rằng là lũy thừa của )n b n $b$$n$$b$$n$$2$

Hay mọi trường hợp của "FFT" trong tài liệu thực sự có nghĩa là " biến đổi lý thuyết số nhanh "? ^[2]

Xem các câu hỏi liên quan của tôi về sự phức tạp của việc loại bỏ Gaussian và các con đường ngắn nhất của Euclide .

_{^[1] Nó thực sự nên được gọi (một số tiền tố của) thuật toán Gauss-Runge-König-Yates-Stumpf-Danielson-Lánczos-Cooley-Tukey.}

_{^[2] Và nếu vậy, tại sao hầu hết các sách giáo khoa chỉ mô tả thuật toán số phức?}

Câu trả lời này là một biến thể của phân tích thuật toán đầu tiên ("Methode A") của Schönhage và Strassen để nhân các số nguyên dài.

Giả sử chúng ta muốn tính toán một FFT có độ dài . Chia tỷ lệ đầu vào của bạn sao cho tất cả các giá trị nhỏ hơn 1. Trước tiên chúng ta giả sử rằng chúng tôi tính toán với số học điểm cố định m -bit ( m bit sau điểm nhị phân). Hãy δ = 2 1 / 2 - m là ( "phức tạp") đơn vị của vị trí nhất. Hãy ω = exp ( 2 π i / K ) .$K = 2^k$$m$$m$$\delta = 2^{1/2 -m}$$\omega = \exp(2\pi i/K)$

1) Người ta có thể tính xấp xỉ sao cho | ω ′ j - ω j | ≤ ( 2 k - 1 ) δ cho tất cả 0 ≤ j ≤ K - 1 . Điều này có thể được thực hiện trong thời gian O ( K M ( m ) ) trong đó M ( m ) là thời gian cần thiết để nhân số m -bit. (xem Knuth Tập 2, tái bản lần thứ 3, trang 309).$\omega_j'$$|\omega_j' - \omega^j| \le (2k-1)\delta$$0 \le j \le K-1$$O(K M(m))$$M(m)$$m$

Nếu RAM nguyên tiêu chuẩn có nghĩa là chi phí logarit, thì . Nếu RAM nguyên tiêu chuẩn có nghĩa là RAM từ, thì M ( m ) = O ( m ) . (Schönhage và Strassen hiển thị trong "Methode A" làm thế nào để giảm thời gian tuyến tính phép nhân số m -bit thành m nhân với số bit O ( log m ) . Việc sau có thể được thực hiện với chi phí đơn vị.)$M(m) = O(m \log m)$$M(m) = O(m)$$m$$m$$O(\log m)$

2) Các cổ điển Cooley-Tukey FFT tính hoạt động của hình thức . Chúng tôi sử dụng m -bit cố định điểm số học, những opertions trở thành một ' = t r u n c một t e ( b ' + ω ' j c ' ) . Nếu chúng ta biết b ' và c ' lên đến một lỗi của ε , chúng tôi nhận một ' lên đến một lỗi của 2 ε + $a = b + \omega^j c$$m$$a' = truncate(b' + \omega_j' c')$$b'$$c'$$\epsilon$$a'$ .$2\epsilon + 2k\delta$

3) Sử dụng cảm ứng, nó rất dễ dàng để thấy rằng chúng tôi có được kết quả cuối cùng với lỗi . Để có được độ chính xác b cuối cùng, m ≥ k + log k + b + O ( 1 ) . $(2^k - 1) \cdot 2k\delta$$b$$m \ge k + \log k + b + O(1)$

4) Do đó thời gian chạy cuối cùng là .$O(K k M(k+b))$

Điều này cũng sẽ hoạt động với các số dấu phẩy động: 1) vẫn có thể được thực hiện với số học điểm cố định, 2) cũng đúng với các số dấu phẩy động.

Trong số học điểm cố định, tôi nghĩ, nó thậm chí có thể được thực hiện nhanh hơn. Trước tiên, chúng tôi giảm tính toán của FFT thành phép nhân đa thức bằng thủ thuật của Bluestein. Độ dài của các hệ số cần thiết để có được độ chính xác mong muốn phải là . Sau đó, chúng tôi giảm phép nhân đa thức thành phép nhân số nguyên dài. (Nối các hệ số cho một số dài và tách chúng bằng khối zero chiều dài O ( k + b ) .) Chiều dài của các số nguyên là O ( K ( k + b ) ) .$O(k + b)$$O(k+b)$$O(K(k+b))$

Đây không phải là một câu trả lời hoàn chỉnh, nhưng tôi có thể chỉ cho bạn một số giấy tờ có liên quan và cũng giải thích một phần lý do tại sao không dễ dàng để trích xuất một câu trả lời cho câu hỏi cụ thể của bạn từ tài liệu.

Hãy để tôi bắt đầu bằng cách hỏi, tại sao bạn muốn biết câu trả lời cho câu hỏi này? Thông thường, những người thấy mình quan tâm đến loại vấn đề này là những người phải đối mặt với việc thực sự thực hiện FFT hiệu suất cao cho một ứng dụng thực tế. Những người như vậy ít quan tâm đến sự phức tạp tiệm cận trong một số mô hình tính toán lý tưởng hóa hơn là tối đa hóa hiệu suất dưới các ràng buộc phần cứng và phần mềm cụ thể của họ. Ví dụ: các nhà phát triển Biến đổi Fourier nhanh nhất ở phương Tây viết trong bài báo của họ:

Sự lựa chọn tốt nhất phụ thuộc vào chi tiết phần cứng như số lượng thanh ghi, độ trễ và thông lượng của hướng dẫn, kích thước và tính kết hợp của bộ nhớ cache, cấu trúc của đường ống xử lý, v.v.

Đây là những vấn đề mà các nhà lý thuyết thường không muốn hờn dỗi, nhưng chúng có tầm quan trọng rất lớn trong việc triển khai thực tế. Nếu một nhà lý thuyết tuyên bố, "Tôi đã tìm ra độ phức tạp bit không triệu chứng tốt nhất tuyệt đối trong mô hình RAM," người thực hành có thể nói, "Thật tuyệt", nhưng có thể thấy kết quả lý thuyết đó vô dụng cho mục đích của mình.

Phải nói rằng, tôi nghĩ rằng đặt cược tốt nhất của bạn là nhìn vào tài liệu phân tích số. Ví dụ, TASche và Zeuner đã xem xét kỹ về tính ổn định số của thuật toán FFT. Điều này có thể vẫn không chính xác như bạn muốn, bởi vì sự đồng thuận chung giữa các học viên dường như là để đạt được một số lượng chính xác nhất định, cách tiếp cận thực tế tốt nhất là tính toán trước một số con số gọi là "các yếu tố xoay vòng" với độ chính xác cao. Nếu bạn chỉ thực hiện một FFT, thì đây sẽ không phải là cách tiếp cận nhanh nhất vì bạn không được khấu hao chi phí tính toán trước một lần của bạn qua một số lượng lớn các tính toán FFT. Tuy nhiên, phân tích của họ về lỗi vòng trong trường hợp xấu nhất vẫn có liên quan đến câu hỏi của bạn.