Đếm các từ được chấp nhận bởi một ngữ pháp thông thường

Cho một ngôn ngữ thông thường (NFA, DFA, ngữ pháp hoặc regex), làm thế nào có thể đếm số lượng từ chấp nhận trong một ngôn ngữ nhất định? Cả "với chính xác n chữ cái" và "có nhiều nhất n chữ cái" đều được quan tâm.

Margareta Ackerman có hai bài báo về chủ đề liên quan đến việc liệt kê các từ được chấp nhận bởi NFA, nhưng tôi không thể sửa đổi chúng để đếm hiệu quả.

Có vẻ như tính chất hạn chế của các ngôn ngữ thông thường sẽ khiến việc đếm chúng tương đối dễ dàng - tôi gần như mong đợi một công thức hơn thuật toán Thật không may, các tìm kiếm của tôi cho đến nay không tìm thấy bất cứ điều gì, vì vậy tôi phải sử dụng sai thuật ngữ.

Đối với DFA, trong đó trạng thái ban đầu là trạng thái , số lượng từ có độ dài k kết thúc ở trạng thái i là A k [ 0 , i ] , trong đó A là ma trận chuyển của DFA (ma trận trong đó số ở hàng i và cột j là số ký hiệu đầu vào khác nhau gây ra sự chuyển đổi từ trạng thái i sang trạng thái j ). Vì vậy, bạn có thể đếm việc chấp nhận các từ có độ dài chính xác k một cách dễ dàng, ngay cả khi $0$$k$$i$$A^k[0,i]$$A$$i$$j$$i$$j$$k$$k$ có kích thước vừa phải, chỉ bằng cách tính công suất ma trận và thêm các mục tương ứng với trạng thái chấp nhận.

Điều tương tự cũng hoạt động để chấp nhận các từ có độ dài tối đa , với ma trận hơi khác. Thêm một hàng và cột bổ sung của ma trận, với một hàng trong ô có cả hàng và cột, một hàng trong hàng mới và cột của trạng thái ban đầu và số 0 trong tất cả các ô khác. Tác động của sự thay đổi này đối với ma trận là thêm một đường dẫn đến trạng thái ban đầu ở mỗi công suất.$k$

Điều này không làm việc cho NFA. Tôi nghi ngờ điều tốt nhất để làm là chỉ chuyển đổi sang DFA và sau đó áp dụng thuật toán cấp nguồn ma trận.

Hãy là một (không xác định) tự động hóa hữu hạn với bắt đầu từ trạng thái q 1 , Q F ⊆ Q và δ ⊆ Q × Σ × Q .$A = (Q = \{q_1, \dots, q_n\}, \Sigma, \delta, Q_F)$$q_1$$Q_F \subseteq Q$$\delta \subseteq Q\times\Sigma\times Q$

Đặt hàm tạo cho tất cả các từ có thể được chấp nhận bắt đầu từ q i , đó là hệ số thứ n của việc mở rộng chuỗi của nó [ z n ] Q i = | { w ∣ | w | = n ∧ w  được chấp nhận từ  q i } | .$Q_i(z)$$q_i$$n$$[z^n]Q_i = |\{w \mid |w| = n \wedge w \text{ accepted from } q_i\}|$

Thông suốt:

$Q_i(z) = \left[ q_i \in Q_F \right] + \sum\limits_{(q_i, a, q_j) \in \delta} x \cdot Q_j(z)$

$Q_1$$[z^n]Q_1$

Điều này quay trở lại một kỹ thuật được giới thiệu cho ngữ pháp của Chomsky và Schützenberger (1963); nó dễ dàng chuyển sang automata hữu hạn.

$\varepsilon$$x$$a \in \Sigma$$w \in \Sigma^k$$x$$x^k$

Tôi nghĩ rằng đây là một vấn đề khó khăn, hãy xem bài viết này: Đếm kích thước của các chuỗi thông thường có độ dài nhất định là # P-Complete: S. Kannan, Z. Sweedyk và SR Mahaney. Đếm và tạo chuỗi ngẫu nhiên trong các ngôn ngữ thông thường. Trong Hội nghị chuyên đề ACM-SIAM về các thuật toán rời rạc (SODA), trang 551 Lỗi557, 1995.

$\#\mathsf{NC}^1$