Giúp về vấn đề tổ hợp sau đây?

Tôi có các vectơ bit, mỗi vectơ được tạo bởi bit. Hãy biểu thị với là -thứ chút của -thứ vector, . Mỗi vectơ bit phải tuân theo 2 hạn chế sau:m v i [ j ] j i i , j ∈ [ 1 , m ] v $m$$m$$v_i[j]$$j$$i$$i,j \in [1, m]$$v_i$

1. $v_i[j] = 0\ \forall j \geq i$ .
2. $v_i[j] = 1\ \forall j < i - \frac{m}{log(m)}$ .
3. Các bit không thuộc các hạn chế ở trên có thể là hoặc , nhưng trong trường hợp đó, số có thể nhiều nhất là . 1 0 $0$$1$$0$$12$

Bây giờ tôi có một vector bit , của bit: ban đầu tất cả các bit được thiết lập để . Bằng cách "áp dụng cho " Tôi có nghĩa là thực hiện một bit AND giữa và , và sau đó lưu trữ kết quả trong . Tôi quan tâm đến sự phát triển của sau khi các ứng dụng lặp lại của vectơ được đưa ra trong đầu vào. m m s 1 v i s s v i s s v 1 , . . . , v $s$$m$$m$$s$$1$$v_i$$s$$s$$v_i$$s$$s$$v_1, ..., v_m$

Chúng ta hãy gọi những "ứng dụng lặp lại" đó là một quỹ đạo và hãy xác định quỹ đạo đó một cách chính thức hơn. Quỹ đạo là một chuỗi được tạo bởi hầu hết các vectơ (được chọn từ các được đưa vào trong đầu vào) sao cho nếu nằm trong chuỗi, thì tất cả sau nó phải có . Vì vậy, ví dụ: là một quỹ đạo, trong khi thì không (vì ). v 1 , . . . , V m v i v j j < i < v 8 , v 3 > < v 3 , v 8 , v 7 > 8 ≥ $m$$v_1, ..., v_m$$v_i$$v_j$$j < i$$<v_8, v_3>$$<v_3, v_8, v_7>$$8\geq3$

Rõ ràng, có quỹ đạo khác nhau. Đặt . Giả sử lấy và để cho nó trải qua một quỹ đạo : cho mỗi bước của quỹ đạo , đặt giá trị mới lấy bằng trong . Sau đó lặp lại quy trình tương tự cho một quỹ đạo khác (luôn bắt đầu từ và luôn đặt mọi giá trị mới của vào ). Sau đó, một lần nữa, cho đến khi bạn thử tất cả các quỹ đạo có thể . Cuối cùng, tập sẽ chứa tất cả các giá trị có thể là S = ∅ s = 1 m T $2^m$$S=\emptyset$$s = 1^m$$T_1$ s S T 2 s = 1 m s S 2 m S $T_1$$s$$S$$T_2$$s=1^m$$s$$S$$2^m$$S$$s$ có thể bao giờ giả định cho các vectơ trong đầu vào.

Câu hỏi

1. Tôi có trong đầu vào. Tôi muốn biết, Tức là có bao nhiêu giá trị khác biệt có thể bao giờ thừa nhận. Tất nhiên, tôi muốn tính toánhiệu quả, tức là không thử tất cả các quỹ đạo có thể từng cái một.| S | s | S $v_i, ..., v_m$$|S|$$s$$|S|$
2. Giả sử để loại bỏ giới hạn ^{thứ 2} trên các vectơ trong đầu vào. Làm thế nào để ảnh hưởng đến? $|S|$
3. Quan trọng hơn, điều tôi quan tâm nhất là làm thế nàophát triển với . Làtại đa thức nhất trong ? Lànhiều nhất theo cấp số nhân tính theo ? Hoặc có tồn tại các trường hợp xấu trên đócó nhất thiết phải theo cấp số nhân trong ?m | S | m | S | m | S | $|S|$$m$$|S|$$m$$|S|$$m$$|S|$$m$

Hình dưới đây là một ví dụ với : $m=17$

Tôi đang thu thập dữ liệu thử nghiệm để cố gắng tìm ra mối quan hệ giữa và. Cho đến nay, các thí nghiệm dường như cho thấy rằngphát triển nhanh hơn và chậm hơn . Tuy nhiên, hiện tại những dữ liệu đó không có nhiều ý nghĩa: Tôi chỉ có thể thực hiện các thử nghiệm lên đến , do đó, có thể có một hằng số ẩn lớn hoặc một số yếu tố khác cho phép một luật hàm mũ giống như một luật đa thức cho nhỏ . Tôi cần giúp đỡ trong việc tìm ra hành vi tiệm cận củađối với . $m$$|S|$$|S|$$m^3$$m^4$$m = 90$$m$$|S|$$m$

Tôi đã suy nghĩ lại về điều này và ràng buộc ban đầu của tôi là chính xác. Trong trường hợp xấu nhất, $|S| = \Theta(m \; 2^\frac{m}{\lg m})$

Bằng chứng là trong hai phần. Thứ nhất, . Hãy xem xét các giá trị có thể củascủa một quỹ đạo mà kết thúc tạivx. Mỗi bits[j]choj≥xlà 0 và mọi bits[j]choj<x-$|S| = O(m \; 2^\frac{m}{\lg m})$$s$$v_x$$s[j]$$j \ge x$$s[j]$ là 1. Do đó chỉ có2$j < x - \frac{m}{\lg m}$giá trị lg m màscó thể lấy. Nhân với sốvxvà chúng ta có giới hạn trên.$2^\frac{m}{\lg m}$$s$$v_x$

Thứ hai, xem xét

    0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
    0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
    0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
    0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 
    0 0 0 0 0  1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 
    0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1
    ...
    1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 
    0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0
     0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1
     0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1
     0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

Tôi khẳng định rằng chương trình này mang lại cho bạn . Đối với mỗi cộtvxcũng xem xét($|S| = \Omega(m \; 2^\frac{m}{\lg m})$$v_x$cột bên phải của nó. Mỗi cái2$(\frac{m}{\lg m}-2)$kết hợp trong số họ đưa ra một khác nhaus, và trong mỗi ngườilàcác bit đầu bộ là bit đầu bộvx, vì vậy không có đôi về số lượng giữa khác nhauvx.$2^{\frac{m}{\lg m}-2}$$s$$s$$v_x$$v_x$