Một hình vuông với các mục mà kề không bao giờ lặp lại

Giả sử chúng ta có một hình vuông và một bảng chữ cái . Chúng tôi đặt một yếu tố của ở mỗi vị trí của hình vuông. Một yếu tố có thể xuất hiện ở nhiều hơn một vị trí. Hạn chế là một cặp của hàng xóm (hoặc đông-tây của nhau hoặc bắc-nam của nhau) chỉ có thể xuất hiện trong cấu hình đó một lần.Γ Γ a , $n \times n$$\Gamma$$\Gamma$$a,b$

Ví dụ về hình vuông bị cấm:

abc
def
gde

Vì "de" xuất hiện trên cả hàng thứ hai và hàng thứ ba, các mục nhập của hình vuông không được chấp nhận. Vấn đề tương tự sẽ phát sinh nếu, giả sử, xuất hiện ở trên d bất cứ nơi nào ngoại trừ góc trên cùng bên trái.

Với , chiều rộng của hình vuông như một tham số, những gì là thấp hơn bị ràng buộc vào kích thước của bảng chữ cái ?$n$$\Gamma$

Tôi rất thích (gợi ý về) một bằng chứng trực tiếp, nhưng cũng có thể loại vấn đề điền vuông này đã được nghiên cứu? Tôi không thể kết nối nó với hình vuông Latin hoặc thiết kế khối. Bản đồ này vào bất kỳ đối tượng tổ hợp đã được đặt tên?

(Lưu ý: điều này có liên quan đến câu hỏi trước đây của tôi về việc tránh các từ một phần, nhưng câu hỏi đó chỉ yêu cầu tránh đông-tây, để nói, trong khi ở đây tôi cũng cần tránh lặp lại bắc-nam.)

Một phiên bản mở rộng của bình luận của tôi:

Đặt là số nguyên tố. Sau đó, chúng ta có thể xây dựng một hình vuông từ bảng nhân của số nguyên modulo . Ví dụ: nếu , chúng ta cón × n p p = $p = n+1$$n \times n$$p$$p = 5$

1234
2413
3142
4321

Bây giờ mỗi cặp với xảy ra chính xác một lần. Tương tự, mỗi cặp -above- với xảy ra chính xác một lần.a ≠ b a b a ≠ $ab$$a \ne b$$a$$b$$a \ne b$

Do đó đây là một công trình hợp lệ; kích thước bảng chữ cái và một vuông.n × $n$$n \times n$

Hơn nữa, nó là tối ưu. Trong một hình vuông có cặp ngang và mỗi cặp phải khác nhau. Nếu chúng ta có một bảng chữ cái có kích thước , chúng ta chỉ có thể xây dựng các cặp ngang khác nhau.n ( n - 1 ) n - 1 ( n - 1 ) 2 < n ( n - 1 $n \times n$$n(n-1)$$n-1$$(n-1)^2 < n(n-1)$

EDITED TO ADD : Bài viết của Gilbert có tầm quan trọng lịch sử và nó giải quyết hoàn toàn vấn đề tôi đã hỏi trong câu hỏi của mình. Xin vui lòng xem mục blog của tôi để biết thêm chi tiết.

CÂU TRẢ LỜI

Nó chỉ ra rằng bài báo mà tôi tìm thấy từ năm 1965, Hình vuông Latin của Gilbert Không chứa Digrams lặp đi lặp lại , khá hữu ích.

$n$$n$$|\Gamma| \leq n+1$$n+1$

$3-1 \neq 2-3$$2-1 = 3-2$

$ab$$a \lozenge^k b$$\lozenge$$k$$n-2$$k$$a \lozenge^k b$$n+1=p$$p$

$n$$n$$x \geq 396738$$[x,x+ x/25 \ln^2 x]$$n$$|\Gamma| \leq n + n/25\ln^2 n$