Phân vùng đồ thị thành các chu kỳ phân tách nút

Vấn đề liên quan: Định lý của Veblen nói rằng "Một đồ thị thừa nhận sự phân rã chu kỳ khi và chỉ khi nó là chẵn". Các chu trình là tách rời cạnh, nhưng không nhất thiết phải tách rời nút. Nói cách khác, "Tập hợp cạnh của đồ thị có thể được phân chia thành các chu kỳ khi và chỉ khi mọi đỉnh có mức độ chẵn."

Vấn đề của tôi: Tôi tự hỏi có ai đã nghiên cứu phân vùng một đồ thị thành các chu kỳ tách rời nút. Nghĩa là, phân vùng các đỉnh của đồ thị thành và mỗi sơ đồ con do tạo ra là hamiltonian. $V$ $G$ $V_1, V_2, \cdots, V_k$ $V_i$

Là NP-cứng hay dễ?

Vấn đề liên quan khác: Phân vùng thành tam giác là NP-đầy đủ. (Trang 68 của "Máy tính và độ hấp dẫn")

Cảm ơn bạn đã tư vấn trước. ^^

cc.complexity-theory graph-theory co.combinatorics

— Bành Trương
nguồn

Có một sự giảm bớt dễ dàng để phù hợp. Bài tập nổi tiếng về thuật toán.

— Chandra Chekuri

Đây có phải là vấn đề của bạn không: en.wikipedia.org/wiki/Vertex_ Motorcycle_cover ?

— Thomas Ahle

@ThomasAhle Cảm ơn, tôi không biết trang wiki đó. Nó được gọi là 'che khuất chu kỳ' được đề cập trong trang wiki đó.

— Bành Trương

Một phân vùng thành các chu kỳ tách rời đỉnh giống như một sơ đồ con 2 thông thường, thường được gọi là 2 nhân tố. Nó có thể được tìm thấy (nếu nó tồn tại) trong thời gian đa thức bằng một thuật toán dựa trên kết hợp. ~~Ví dụ xem liên kết này .~~

ETA tháng 11 năm 2013: Có vẻ như từ các bình luận bên dưới rằng việc giảm từ nguồn được liên kết ở trên là sai. Tuy nhiên, tuyên bố rằng vấn đề có thể được giảm xuống để kết hợp hoàn hảo vẫn đúng. Việc giảm chính xác là trong WT Tutte (1954), "Một bằng chứng ngắn về định lý nhân tố cho đồ thị hữu hạn", J. Math của Canada. 6: 347 đỉnh352 .

Thay thế mỗi đỉnh bằng độ bằng đồ thị lưỡng cực hoàn chỉnh $v$ $d$ và biểu diễn mỗi cạnhcủa đồ thị ban đầu bằng một cạnh từ một đỉnh của đến một đỉnh của (ở cạnh của haiđỉnhvớicác đỉnh) sao cho mỗi đỉnh của ở phía đó của bipartition có chính xác một sự cố cạnh như vậy với nó. $G_v=K_{d,\,d-2}$ $uv$ $G_u$ $G_v$ $d$ $G_v$

Sau đó, một kết hợp hoàn hảo trong biểu đồ đã sửa đổi phải khớp với đỉnh ở phía bên của phân nhánh với trong số cácđỉnh ở phía bên kia, để lại chính xác hai đỉnh tự do cần khớp với hàng xóm của họ trong các đồ thị con khác . Theo cách này, các kết hợp hoàn hảo của biểu đồ đã sửa đổi tương ứng 1 đối với 1 với các chu kỳ của biểu đồ gốc. $d-2$ $G_v$ $d-2$ $d$ $G_u$

— David Eppstein
nguồn

Tôi không hiểu Tất cả các đề cập tôi đã tìm thấy, về thuật toán này, bắt đầu bằng cách tính toán một chuyến tham quan euler. Tuy nhiên, có rất nhiều biểu đồ có thể che được theo chu kỳ mà không cần tham quan euler. Có phải trong P cũng không nếu chúng ta không yêu cầu tất cả các cạnh được sử dụng?

— Thomas Ahle

Bạn đã đọc bài viết tôi liên kết đến? Tôi không thấy đề cập đến các tour du lịch Euler ở đó.

— David Eppstein

Nó hơi khó hiểu. Khi bạn xây dựng

bằng cách thay đổi mỗi cạnh

đến một cạnh từ

đến

(

) làm thế nào để bạn biết rằng những dấu chấm hết cho đưa vào

E^{'}

$E'$

(i, j)

$(i,j)$

V

$V$

V^{'}

$V'$

(i, j^{'})

$(i,j')$

V

$V$ và đó để đưa vào

? Bài báo dường như "chỉ lấy cái thứ hai", nhưng nó không phải là đồ thị có hướng ..

V^{'}

$V'$

— Thomas Ahle

Ý tôi là, tôi cũng có thể chuyển đổi mọi cạnh không mong muốn thành một cạnh được định hướng theo từng hướng, nhưng sau đó, việc khớp có thể chỉ cho tôi rất nhiều chu kỳ "dài 2", phải không?

— Thomas Ahle

@ThomasAhle rõ ràng lẫn lộn các điều khoản; ý tôi là một

k

$k$ -regular spanning đồ thị, hay còn gọi là

-factor

k

$k$

— Manfred Weis