-norm bảo quản máy Turing

Đọc một số chủ đề gần đây về điện toán lượng tử ( ở đây , ở đây và ở đây ), khiến tôi nhớ một câu hỏi thú vị về sức mạnh của một loại máy bảo quản -norm.$\ell_p$

Đối với những người làm việc trong lý thuyết phức tạp sẽ trở nên phức tạp lượng tử, một văn bản giới thiệu tuyệt vời là bài viết của Fortnow có liên kết được Joshua Grochow đăng ở đây . Trong bài báo đó, máy Turing lượng tử được trình bày dưới dạng máy Turing xác suất tổng quát. Về cơ bản, máy xác suất có trạng thái chuẩn hóa theo -norm, tức là . Quá trình tiến hóa thời gian của máy được đưa ra bằng cách áp dụng ma trận ngẫu nhiên sao cho , tức là bảo toàn -norm. Vì vậy, trạng thái tại thời điểm là P ^ ts$s$$\ell_1$$\parallel s\parallel_1=1$$P$$\parallel Ps\parallel_1=1$$P$$\ell_1$$t$$P^ts$(ký hiệu có thể không chính xác vì phép nhân trái hoặc phải của $P$ phụ thuộc vào việc $s$ là một vectơ hàng hay cột hoặc các hàng hoặc cột của $P$ là không gian con duy trì định mức). Vì vậy, theo nghĩa này, máy Turing có xác suất là một máy bảo quản định dạng $\ell_1$ được ký hiệu là $M^{\ell_1}$ .

Sau đó, một máy Turing lượng tử có thể được xem là có trạng thái $s$ với \allel s \ allel_2 $\parallel s\parallel_2=1$ và ma trận đơn vị $P$ (bảo tồn $\ell_2$ -norms) sao cho $P^ts$ là trạng thái tại thời điểm $t$ trong đó $\parallel P^ts\parallel_2=1$ . Đây là máy bảo quản $\ell_2$ -norm được ký hiệu là $M^{\ell_2}$ .

Nói chung, máy bảo quản $\ell_p$ -norm được ký hiệu là $M^{\ell_p}$ .

Vì vậy, câu hỏi của tôi là:

(1) Sức mạnh của $\ell_p$ -norm bảo quản máy cho p hữu hạn là $p$gì? Chính thức hơn, chúng ta có thể chứng minh rằng với bất kỳ $p$ và $q$ , nếu $q>p$ thì tồn tại ngôn ngữ $L$ và máy $M^{\ell_q}$ sao cho $M^{\ell_q}$ quyết định hiệu quả $L$ và không có máy $M^{\ell_p}$ mà hiệu quả quyết định $L$ . Ví dụ, đây có thể là một khái quát của câu hỏi, là $NP \subseteq BQP$ ?.

(2) Điều gì về $p=\infty$ ? Ở đây giá trị tối đa của các thành phần của vectơ trạng thái là 1.

(3) Những câu hỏi này vượt ra ngoài tính phi quân sự nên không mong muốn đồng ý với cơ học lượng tử. Nói chung, điều gì xảy ra với tính toán nếu bạn nới lỏng các hạn chế về tính không thống nhất trong các hoạt động? Có nhiều công trình về việc cho phép các toán tử phi tuyến tính (xem Aaronson 2005 ).

(4) Có lẽ là quan trọng nhất, nó có phải là phổ quát không? Tôi nghĩ rằng điều này là rõ ràng, bởi vì đối với các trường hợp cụ thể, nó là phổ quát. Nhưng điều gì xảy ra với tính phổ quát khi ?$p=\infty$

Đây không phải là một câu trả lời hoàn chỉnh cho các câu hỏi, nhưng quá dài để viết như một bình luận. Nó mở rộng bình luận trước đây của tôi.

Câu hỏi Điều gì xảy ra với tính toán nếu các tiên đề của cơ học lượng tử được sửa đổi một chút? VI được giải quyết rất chi tiết bằng một bài báo vui [Aar04] của Scott Aaronson. Tôi tin rằng các câu hỏi của bạn về cơ bản đã được trả lời trong nửa đầu của Phần 2 của [Aar04].

Aaronson chỉ ra rằng nếu p> 0 và p 2, thì ma trận bảo toàn định mức p cho tất cả các vectơ nhất thiết phải là ma trận hoán vị tổng quát (một sản phẩm của ma trận hoán vị và ma trận đường chéo). Ông nói rằng cùng giữ trong trường hợp p =. Tất cả những thứ này giữ cho cả hơn và hơn. Lưu ý rằng điều này bao gồm trường hợp p = 1: ma trận ngẫu nhiên bảo toàn định mức 1 cho các vectơ không âm nhưng không phải cho tất cả các vectơ nói chung.

Tôi đoán rằng một máy Turing xác suất được khái quát hóa như trong [For00] có ma trận hoán vị tổng quát như ma trận chuyển tiếp toàn cầu của nó chỉ khi nó là máy Turing xác định, nhưng tôi không có bằng chứng trong tay.

Aaronson cũng thảo luận về một số sửa đổi khác về các tiên đề của cơ học lượng tử trong bài báo. Ví dụ: nếu chúng ta thay đổi quy tắc đo lường (thay vì tập hợp các cổng được phép) để kết quả x xảy ra với xác suất | α _x | ^p / ∑ _y | α _y | ^p , trong đó α _y là biên độ của | y⟩, thì máy tính lượng tử này có thể giải quyết bất kỳ vấn đề nào trong PP (bao gồm cả các vấn đề hoàn thành NP) trong thời gian đa thức trừ khi p = 2 (Dự luật 5).

Tài liệu tham khảo

[Aar04] Scott Aaronson. Là cơ học lượng tử là một hòn đảo trong không gian lý thuyết? Trong Kỷ yếu của Lý thuyết lượng tử Växjö Hội nghị Lượng tử: Xem xét lại các nền tảng, rèn 2004. arXiv: quant-ph / 0401062 v2.

[For00] Lance Fortnow. Một quan điểm lý thuyết phức tạp về điện toán lượng tử. Trong máy tính: Hội nghị chuyên đề lý thuyết Úc (CATS 2000), trang 58 Hóa72, tháng 1 năm 2000. http://dx.doi.org/10.1016/S1571-0661(05)80330-5

$p \not\in \{1,2\}$$\ell_p$$\left| \psi_i \right|^p$

$\ell_p$$\ell_1$$\ell_2$$\Omega(N^{1/p})$$\ell_\infty$$\ell_p$$\ell_q$$1/p+1/q=1$$\ell_p$$p$