Tô màu đồ thị gần đúng với giới hạn trên được hứa hẹn trên tập độc lập tối đa

Trong công việc của tôi, vấn đề sau đây phát sinh:

Có một thuật toán đã biết, xấp xỉ số màu của đồ thị mà không có một bộ thứ tự 65 độc lập không? (Vì vậy, alpha (G) <= 64 được biết đến và | V | / 64 là mức thấp hơn tầm thường, | V | một giới hạn trên tầm thường. Nhưng có những xấp xỉ được chứng minh tốt hơn trong điều kiện đặc biệt này không?)

Điều gì nếu chúng ta thư giãn đến số màu sắc phân số? Và để "tốt" thời gian chạy trong trường hợp trung bình?

— cyrix42
nguồn

Tôi nghĩ rằng đây là một câu hỏi tuyệt vời cho trang web này; Hãy hy vọng rằng ai đó có một câu trả lời tốt.

— Jukka Suomela

@TysonWilliams: Tôi nghĩ câu hỏi hoàn toàn rõ ràng. Quên bình luận, đọc lại câu hỏi. :)

— Jukka Suomela

Điều buồn cười là, điều kiện này đảm bảo rằng xấp xỉ tầm thường là xấp xỉ 64 đến tối ưu. Tôi tự hỏi liệu chỉ cần lời hứa về một số độc lập nhỏ có thể đưa ra một thuật toán tốt hơn.

— Sasho Nikolov

Là vấn đề thúc đẩy bởi ứng dụng thực tế? Nếu vậy, người ta nên tập trung vào các heuristic thú vị sẽ làm tốt - cải thiện xấp xỉ 64 tầm thường không phải là điều thú vị.

— Chandra Chekuri

Nhân tiện, nếu bạn muốn nhanh chóng tìm thấy các xấp xỉ tốt của số sắc độ phân số, thì đủ để tìm các xấp xỉ tốt của các tập độc lập trọng số tối đa một cách nhanh chóng. Do đó đề nghị này một câu hỏi mới: Nếu chúng ta biết rằng tập độc lập lớn nhất có kích thước 64, là có một thuật toán phát hiện tốt các phép xấp xỉ của max-trọng lượng bộ độc lập nhiều nhanh hơn so với tầm thường

-thời gian thuật toán?

O (n^{64})

$O(n^{64})$

— Jukka Suomela

Câu trả lời:

Tính toán kết hợp tối đa trong phần bù của đồ thị đầu vào. Mỗi nút chưa từng có phải thuộc một lớp màu khác nhau trong bất kỳ màu nào. Vì vậy: nếu bạn nhận được ít nhất cn cạnh phù hợp, thì chính khớp đó sẽ cho bạn một màu với giới hạn trên là (1-c) n và tỷ lệ xấp xỉ là 64 (1-c). Nếu bạn không nhận được ít nhất các cạnh cn, thì bạn sẽ có giới hạn dưới của (1 - 2c) n màu và tỷ lệ xấp xỉ 1 / (1-2c). Việc giải phương trình 64 (1-c) = 1 / (1-2c) dẫn đến tỷ lệ gần đúng lớn hơn một chút so với 32; xem bình luận của Sasho Nikolov cho giá trị chính xác.

— David Eppstein
nguồn

sửa lỗi nhỏ: trong trường hợp đầu tiên, giới hạn trên là (1-c) n và giới hạn dưới là n / 64, do đó tỷ lệ xấp xỉ là (1-c) 64. Khi bạn giải quyết (1-c) 64 = 1 / (1-2c), bạn sẽ có được

và xấp xỉ tỷ lệ

. Có vẻ như được đưa ra giới hạn trên của

cho

, phương pháp này cho tỷ lệ gần đúng đi đến

c = 3 / 16 (4 - \sqrt{2}) \approx 0.5

$c = 3/16 (4-\sqrt{2}) \approx 0.5$

\approx 32

$\approx 32$

k

$k$

α (G)

$\alpha(G)$

như

đi đến vô cùng.

\frac{k}{2}

$\frac{k}{2}$

k

$k$

— Sasho Nikolov

$H$ $H$

http://en.wikipedia.org/wiki/Colouring_number#Alacticms

— Andrew D. King
nguồn

Hiệu chỉnh nhỏ: không đúng khi số màu bằng số màu ít nhất trong một màu tham lam. Nếu bạn sắp xếp các đỉnh theo màu của chúng theo màu tối ưu (với thuộc tính bổ sung mà lớp màu đầu tiên là tối đa và thứ hai là tối đa trong biểu đồ còn lại, v.v.) thì thuật toán tham lam sẽ tìm thấy màu tối ưu tương tự.

— David Eppstein