Các trường hợp hệ thống tuyến tính gần như thời gian tuyến tính

Đặt một ma trận thực n × vuông A và hai vectơ x và b có độ dài n , sao cho A x = b . Việc giải cho x thông qua loại bỏ Gaussian tiêu chuẩn mang lại độ phức tạp tổng hợp gần như O ( n 3 ) . Tuy nhiên, có những trường hợp giải (hoặc ϵ -appro khoảng giải) cho x chi phí O ( n log ρ n ) , chẳng hạn như các hệ thống trong đó $n\times n$${\bf A}$${\bf x}$${\bf b}$$n$

$${\bf A}{\bf x}={\bf b}.$$ ${\bf x}$$O(n^3)$$\epsilon$${\bf x}$$O(n\log^\rho n)$${\bf A}$ là một ma trận chi phối đối xứng và theo đường chéo (ví dụ: Laplacian) [1].

Những họ khác của hệ thống tuyến tính (tức là ma trận) thừa nhận các giải pháp thời gian tuyến tính (hoặc không cần poly (n))? Nếu chúng ta xem xét các trường hữu hạn thay vì ma trận thực, có gia đình nào của ma trận ở đó thừa nhận các giải pháp thời gian gần như tuyến tính không?

[1] http://www.cs.yale.edu/homes/spielman/Research/linsolve.html

Các hệ thống tuyến tính với ma trận tuần hoàn có thể được giải trong bằng cách sử dụng biến đổi Fourier nhanh. Một ma trận tuần hoàn có các mục a i , j = a 1 , i + j - 1 mod n nên nó được chỉ định hoàn toàn bởi cột đầu tiên. Ma trận tuần hoàn được chéo bởi biến đổi Fourier nhanh (thời gian tuyến tính log) và hệ thống tuyến tính với ma trận đường chéo có thể được giải quyết trong thời gian tuyến tính. Xem ví dụ bài viết Wikipedia http://en.wikipedia.org/wiki/Circulant_matrix để biết thêm chi tiết.$O(n \log n)$$a_{i,j} = a_{1,i+j-1 \bmod n}$

Xin lỗi nếu điều này quá tầm thường để được đề cập ở đây.