Xấp xỉ tốt nhất cho phiếu bầu đa số là gì?

Hoạt động bỏ phiếu đa số xuất hiện khá thường xuyên ở khả năng chịu lỗi (và không nghi ngờ gì ở những nơi khác), trong đó hàm xuất ra một bit bằng với giá trị từng xuất hiện thường xuyên nhất trong giá trị của các bit đầu vào. Để đơn giản, hãy giả sử rằng bất cứ khi nào đầu vào chứa số bit bằng nhau ở trạng thái 0 và trạng thái 1, nó sẽ xuất 0.

Điều này có thể được khái quát thành các điểm trong đó có nhiều hơn 2 khả năng cho mỗi đầu vào bằng cách trả về giá trị xảy ra thường xuyên nhất trong đầu vào và trong trường hợp hòa, trả về giá trị thường xuyên nhất xuất hiện đầu tiên theo từ vựng. Chúng ta hãy gọi chức năng này là "phiếu bầu đa số".

Tôi quan tâm đến đầu ra của một hàm như vậy khi mỗi đầu vào có phân phối xác suất cố định (và phân phối là giống nhau cho mỗi dit trong đầu vào). Cụ thể tôi quan tâm đến câu hỏi sau đây.

Cho một tập hợp , nếu tập hợp được lấy mẫu ngẫu nhiên lần, với xác suất chọn phần tử của mỗi lần, cho một lựa chọn cố định của xác suất mà phiếu bầu đa số của các đầu ra bao nhiêu? $S=\{S_1, S_2,... ,S_n\}$ $N$ $p_i$ $i^{th}$ $S$ $v$ $S_v$

Bây giờ, thật đơn giản để tính toán câu trả lời chính xác cho câu hỏi trên dưới dạng tổng của các phân phối đa phương thức. Tuy nhiên, đối với mục đích của tôi, điều này ít hơn lý tưởng, và đóng cho xấp xỉ sẽ tốt hơn. Vì vậy, câu hỏi của tôi là:

Những gì gần đúng hình thức đóng với xác suất trên có ràng buộc chặt chẽ nhất về khoảng cách tối đa từ giá trị chính xác?

co.combinatorics

— Joe Fitzsimons
nguồn

Tôi không biết, nhưng tôi sẽ đề xuất cụm từ tìm kiếm, "sự đồng thuận lý thuyết kiểm soát" hoặc "vấn đề đồng thuận lý thuyết kiểm soát." Đó là một vấn đề khác với vấn đề đồng thuận điện toán phân tán, và có thể là những gì bạn cần.

— Aaron Sterling

Bạn đang tìm kiếm một xấp xỉ hoạt động tốt khi N lớn so với n? Nếu vậy, quy tắc phá vỡ cà vạt phải không liên quan.

— Tsuyoshi Ito

@TsuyoshiIto: Vâng, tôi, và thực sự quy tắc đó là không liên quan, nhưng tôi muốn chắc chắn rằng câu hỏi đã được đặt ra. Tôi không thực sự quan tâm đến việc làm thế nào mối quan hệ bị phá vỡ, vì rất dễ ràng buộc sự khác biệt đó.

— Joe Fitzsimons

Chà, đây là mặt sau của ước tính phong bì ... Gọi

là số lần bạn chọn bộ

. Đây là một biến nhị thức. Giả vờ họ độc lập. Bây giờ, với giá trị cố định của

, bạn có thể tính xác suất nhận được giá trị này của

và với giá trị này, tính xác suất nó thắng trên tất cả các biến khác. Điều này sẽ đưa ra một giới hạn khá tốt về xác suất. Tất nhiên chúng không phải là chặt chẽ nhất - bạn càng sẵn sàng tính đến sự phụ thuộc, ước tính của bạn sẽ càng chính xác, nhưng bạn sẽ phải tính toán nhiều hơn.

Y_{i}

$Y_i$

S_{i}

$S_i$

Y_{v}

$Y_v$

Y_{v}

$Y_v$

— Sariel Har-Peled

Nếu cho tất cả , thì $p_v > p_i$ $i \ne v$

P r [kết quả khác với v] \leq \underset{T}{tối thiểu} (P r [B (N, p_{v}) \leq T] + P r [\forall Tôi \neq v B (N, p_{Tôi}) \geq T]),

$\mathrm{Pr}[\mbox{outcome is different from $v$}] \leq \min_T \left(Pr[B(N, p_v) \leq T] + Pr[\forall i \ne v \quad B(N, p_i) \geq T]\right),$

Trong đó là phân phối nhị thức và là ngưỡng tùy ý. Cắm và sử dụng giới hạn Chernoff, người ta có thể thượng-bound xác suất này như . $B(n, p)$ $T$ $T = N (p_v + \max_{i \ne v} p_v) / 2$ $e^{-\Omega(N)}$

Tất nhiên, nếu không tối đa, thì bạn sẽ có được hình ảnh ngược lại. Với xác suất áp đảo không phải là kết quả. $p_v$ $v$

— ilyaraz
nguồn

Cảm ơn bạn đã suy nghĩ về vấn đề này, nhưng đây không phải là điều tôi đang tìm kiếm. Nó không phải là một hình thức đóng. Tôi sẽ cần phải tính tổng số mũ không giới hạn. Tôi đã biết cách viết giải pháp chính xác và tôi biết rất nhiều xấp xỉ cho các thuật ngữ riêng lẻ, nhưng đó không phải là điều tôi muốn. Tôi đang tìm kiếm một hình thức gần đúng cho giải pháp, không phải cho các điều khoản riêng lẻ. Tôi cũng cần một ràng buộc tốt về lỗi.

— Joe Fitzsimons

n

$n$

@ilyaraz Tôi đang cố gắng để hiểu sự bất bình đẳng đầu tiên của bạn. Bạn có thể khám phá tôi tốt hơn tại sao nó giữ? Tôi nghĩ rằng bạn đã sử dụng liên kết theo một cách nào đó nhưng tôi không thể hiểu. Cảm ơn :)

— AntonioFa