Là giải hệ phương trình modulo

Tôi quan tâm đến sự phức tạp của việc giải phương trình tuyến tính modulo k , đối với k tùy ý (và đặc biệt quan tâm đến các lũy thừa), cụ thể:

Vấn đề. Đối với một hệ phương trình đã cho của $m$ phương trình tuyến tính trong $n$ ẩn modulo $k$ , có tồn tại giải pháp nào không?

Tóm tắt về cấu trúc và tầm quan trọng của bài báo về các lớp logspace-MOD trên các lớp Mod _k L , Buntrock, Damm, Hertrampf và Meinel tuyên bố rằng họ " chứng minh tầm quan trọng của mình bằng cách chứng minh rằng tất cả các vấn đề tiêu chuẩn của đại số tuyến tính trên các vòng hữu hạn $\mathbb Z/k\mathbb Z$ đã hoàn thành cho các lớp này ". Kiểm tra chặt chẽ hơn, câu chuyện phức tạp hơn. Ví dụ, Buntrock et al. cho thấy (bằng một bản phác thảo bằng chứng trong một bản nháp sớm và có thể truy cập tự do được tìm thấy bởi Kaveh, cảm ơn!) rằng việc giải các hệ phương trình tuyến tính thay vào đó là lớp bổ sung coMod _k L , chok nguyên tố. Lớp này không được biết là bằng Mod _k L cho k composite, nhưng đừng bận tâm rằng - điều tôi quan tâm là thực tế là họ không đưa ra bất kỳ nhận xét nào về việc giải hệ phương trình tuyến tính mod k có được bao gồm hay không trong coMod _k L cho k composite!

Câu hỏi: Là hệ phương trình giải phương trình tuyến tính modulo k có trong coMod _k L cho tất cả k dương?

Nếu bạn có thể giải các hệ phương trình modulo có công suất cao hơn q của một số nguyên tố p , bạn cũng có thể giải chúng theo modulo p ; vì vậy việc giải hệ phương trình modulo q là coMod _p L -hard . Nếu bạn có thể chỉ ra rằng vấn đề này nằm ở Mod _q L , thì cuối cùng bạn sẽ hiển thị Mod _k L  =  coMod _k L cho tất cả k . Điều đó rất khó để chứng minh. Nhưng nó có trong coMod _k L không?

Tôi rất vui khi nói rằng tôi nghĩ rằng chúng ta có thể trả lời câu hỏi này trong câu khẳng định: đó là, quyết định xem một phép đồng tuyến tính có khả thi hay không modulo k là coMod _k L -complete .

Chúng ta thực sự có thể giảm vấn đề này sang trường hợp đặc biệt của các cường quốc. Người ta có thể chỉ ra rằng:

Hình thức bình thường. Lớp coMod _k L bao gồm các langauges L có dạng L  =  L _{p 1}  ∩  L _{p 2}  ∩ ... ∩  L _{p r}  , trong đó L _{p j}  ∈  coMod _{p j}  L và trong đó p _j nằm trên các thừa số nguyên tố của k .

Theo Định lý còn lại, bất kỳ giải pháp nào cho một hệ phương trình modulo mỗi nguyên tố chia k đều dẫn đến một giải pháp cho cùng một hệ thống, mod k . Vì vậy, nếu giải quyết hệ phương trình tuyến tính trên được chứa trong coMod _{p j}  L , nó sau đó hệ thống giải quyết các phương trình mod k được chứa trong coMod _k L . p t j$p_{\!j}^{e_j}$$p_{\!j}^{t_j}$

Có một thuật toán tiêu chuẩn, được mô tả bởi McKenzie và Cook để giảm sự đồng biến tuyến tính một cách mạnh mẽ để xây dựng một bộ kéo dài cho nullspace của nó (cụ thể là, đối với A x  =  y qua một vòng nhất định, xây dựng cơ sở cho nullspace của [  A  |  y  ] và xem liệu có giải pháp nào tồn tại với hệ số cuối cùng là -1); và sau đó để giảm việc xây dựng các số nguyên tố modulo nullspaces để xây dựng các số nguyên tố modulo nullspaces và các số nguyên tố modulo nhân ma trận. Cả hai nhiệm vụ sau đều là các vấn đề khả thi đối với coMod _k L , miễn là bạn có thể xây dựng các ma trận liên quan.

Nó chỉ ra rằng các ma trận liên quan đến việc giảm McKenzie và Cook có thể được tính toán bằng cách nhân ma trận và chia (chủ yếu) theo một yếu tố không đổi. May mắn thay, đối với các lũy thừa, các hệ số của ma trận liên quan có thể được tính toán trên băng công việc bằng cách sử dụng một lời tiên tri cho coMod _p L -machines ; và việc phân chia bởi một hằng số có thể được thực hiện trong NC ¹ , đó là một lần nữa khả thi trong coMod _p L . Vì vậy, nó quay ra rằng toàn bộ vấn đề là cuối cùng doable trong coMod _k L .

Để biết chi tiết đầy đủ, xem [ arxiv: 1202,3949 ].