Biểu đồ có chu vi cao thông thường với tổng thứ tự thống nhất cục bộ trên các nút

Các định nghĩa

Hãy và để d , r , và g là các số nguyên dương (với g > 2 r + 1 ).$\epsilon > 0$$d$$r$$g$$g > 2r+1$

Hãy là một đơn giản, d -regular, vô hướng, đồ thị hữu hạn với chu vi ít nhất g .$G = (V,E)$$d$$g$

Hãy là một tổng trật tự trên V .$\le$$V$

Với mỗi , hãy để V v ⊆ V bao gồm các nút nằm trong khoảng cách r từ v trong G (đường đi ngắn nhất từ v đến bất kỳ u ∈ V v nào có nhiều nhất r cạnh) và để G v là sơ đồ con của G gây ra bởi V v . Hãy nhớ lại rằng chúng ta giả sử rằng G có chu vi cao; do đó G v là một cái cây. Gọi ≤ v là giới hạn của ≤ đến$v \in V$$V_v \subseteq V$$r$$v$$G$$v$$u \in V_v$$r$$G_v$$G$$V_v$$G$$G_v$$\le_v$$\le$ .$V_v$

Chúng ta nói rằng một cạnh là tốt nếu ( G u , ≤ u ) và ( G v , ≤ v ) là đẳng cấu. Đó là, có một song ánh f : V u → V v mà bảo tồn adjacencies ( { x , y } ∈ E iff { f ( x ) , f ( y $\{u,v\} \in E$$(G_u,\le_u)$$(G_v,\le_v)$$f\colon V_u \to V_v$$\{x,y\} \in E$ ) và trật tự ( x ≤ y khi và chỉ khi f ( x ) ≤ f ( y ) ). Nếu không thì một cạnh làxấu.$\{f(x),f(y)\} \in E$$x \le y$$f(x) \le f(y)$

Chúng ta nói rằng là ε -Có nếu có ít nhất ( 1 - ε ) | E | cạnh tốt.$(G,\le)$$\epsilon$$(1-\epsilon)|E|$

Câu hỏi

Đặt . Liệu có tồn tại một ε cặp -Có ( G , ≤ ) cho bất kỳ ε > 0 và bất kỳ r và g (với r « g )?$d = 4$$\epsilon$$(G,\le)$$\epsilon > 0$$r$$g$$r \ll g$

Nhận xét:

• Tôi muốn biết câu trả lời cho một chung , nhưng d = 4 là trường hợp không tầm thường đầu tiên.$d$$d = 4$

• Kích thước của không quan trọng, miễn là nó hữu hạn. Tôi không cần xây dựng G ; chỉ tồn tại hoặc không tồn tại là đủ.$G$$G$

Ví dụ

• Nếu , câu trả lời là "có". Chúng ta chỉ cần có một chu kỳ đủ dài và sắp xếp các nút dọc theo chu kỳ. Có một số cạnh xấu gần cạnh tham gia nút lớn nhất và nhỏ nhất, nhưng tất cả các cạnh khác đều tốt: đối với hầu hết tất cả các nút v , cặp ( G v , ≤ v ) chỉ là một đường dẫn có 2 r + 1 nút trong một trật tự ngày càng tăng.$d = 2$$v$$(G_v,\le_v)$$2r+1$

• Nếu , câu trả lời là "có". Chỉ cần lấy một đồ thị cao thông thường.$r = 0$

• Nếu đủ nhỏ, câu trả lời là "có" cho bất kỳ d . Chỉ mất một ( d / 2 ) graph chiều lưới (với ranh giới quấn quanh để làm cho nó d -regular), và trật tự các nút thứ tự từ điển theo tọa độ của họ. Một lần nữa chúng ta có một số cạnh xấu gần ranh giới của lưới, nhưng chúng ta có thể làm cho số lượng các cạnh xấu nhỏ tùy ý.$g$$d$$(d/2)$$d$

• Nếu không cần hữu hạn, câu trả lời là "có" cho bất kỳ d . Một cây vô hạn thông thường có tổng thứ tự sao cho tất cả các cạnh đều tốt.$G$$d$

• Nếu là số lẻ và r đủ lớn, câu trả lời là "không". Về bản chất, Naor & Stockmeyer (1995) cho thấy rằng mọi nút đều xảy ra với ít nhất một cạnh không tốt.$d$$r$

Lý lịch

(Phần này có thể được bỏ qua một cách an toàn.)

Câu hỏi liên quan đến nền tảng của điện toán phân tán, và đặc biệt là các thuật toán địa phương .

$v$$G$$(G_v,\le_v)$$v$$e = \{u,v\}$$e$$u$$v$$u$$v$

Đối với nhiều vấn đề đồ thị cổ điển, người ta biết rằng tổng số đơn hàng không có ích (quan hệ yếu hơn nhiều về cơ bản cung cấp cùng một lượng thông tin phá vỡ đối xứng), nhưng một số trường hợp vẫn mở - và kết quả chung bao trùm cả trường hợp cao đồ thị girth có thể là một bước đột phá.

$(G,\le)$

$V$$v \in V$$\ell(v) \in \mathbb{N}$

$(G,\le)$$\epsilon > 0$$r$$g$$d$

Để biết chi tiết, xem arXiv: 1201.6675 .