Có bao nhiêu tautology?

Cho $m, n, k$ , có bao nhiêu $k$ -DNF với biến và mệnh đề là tautology? (hoặc có bao nhiêu -CNF không thỏa mãn?)m $n$$m$$k$

Câu trả lời phụ thuộc vào , m và n . Tổng số chính xác thường không được biết, nhưng có một hiện tượng "ngưỡng" đối với hầu hết các cài đặt của k , m , n , hoặc gần như tất cả các trường hợp k -SAT đều thỏa đáng hoặc gần như tất cả các trường hợp đều không thỏa mãn. Ví dụ, khi k = 3 , người ta đã quan sát theo kinh nghiệm rằng khi m < 4,27 n , tất cả ngoại trừ một phần o ( 1 ) của các trường hợp 3-SAT đều thỏa đáng và khi m > 4,27 n , tất cả trừ một $k$$m$$n$$k$$m$$n$$k$$k=3$$m < 4.27 n$$o(1)$$m > 4.27n$ phần không thỏa mãn. (Ngoài ra còn có bằng chứng nghiêm ngặt về giới hạn được biết đến.)$o(1)$

Một điểm bắt đầu là "Thứ tự tiệm cận của ngưỡng k-SAT" .

Amin Coja-Oghlan cũng đã thực hiện rất nhiều công việc về các vấn đề ngưỡng thỏa đáng này.

Đây là một nhận xét mở rộng để bổ sung cho câu trả lời của Ryan, liên quan đến các ngưỡng mà số mệnh đề trở nên đủ lớn để cá thể gần như chắc chắn không thỏa mãn. Người ta cũng có thể tính các ngưỡng lớn hơn nhiều trong đó số mệnh đề buộc không thỏa mãn khi vượt quá hàm .$n$

Lưu ý rằng một số vấn đề kỹ thuật cần được giải quyết. Nếu các mệnh đề lặp lại được tính bằng , thì m có thể được tạo ra lớn như mong muốn mà không thay đổi n . Điều này sẽ phá hủy hầu hết các mối quan hệ giữa m và n . Vì vậy, giả sử rằng m là số mệnh đề riêng biệt. Chúng ta cần quyết định một chi tiết khác, cho dù các thể hiện được mã hóa sao cho thứ tự chữ trong một mệnh đề hoặc mệnh đề trong một vấn đề. Giả sử điều này không quan trọng, vì vậy hai trường hợp được coi là tương đương nếu chúng có cùng một mệnh đề và hai mệnh đề tương đương nếu chúng có cùng một nghĩa đen. Với những giả định này, giờ đây chúng ta có thể ràng buộc số lượng mệnh đề riêng biệt có thể được biểu thị bằng$m$$m$$n$$m$$n$$m$ biến. Mỗi mệnh đề có thể có mỗi biến xảy ra tích cực hoặc tiêu cực, hoặc hoàn toàn không, và sau đó m ≤ 3 n .$n$$m\le 3^n$

Đầu tiên hãy xem xét SAT mà không hạn chế về . M lớn nhất sao cho thể hiện là thỏa đáng? Không mất tính tổng quát, chúng ta có thể cho rằng phép gán hoàn toàn bằng không là một giải pháp. Sau đó, có 3 n - 2 n mệnh đề khác nhau phù hợp với giải pháp này, mỗi mệnh đề chứa ít nhất một mệnh đề phủ định. Do đó m ≤ 3 n - 2 n cho mọi trường hợp thỏa đáng. Ví dụ bao gồm tất cả các mệnh đề mà mỗi mệnh đề chứa ít nhất một mệnh đề phủ định có nhiều mệnh đề này và được thỏa mãn bởi phép gán hoàn toàn bằng không. Hơn nữa, theo nguyên tắc pigeonhole bất kỳ trường hợp nào có ít nhất 3 $k$$m$$3^n-2^n$$m\le 3^n-2^n$ Mệnh đề 2 n + 1 không thỏa mãn.$3^n-2^n+1$

Điều này mang lại tập con khác nhau của các mệnh đề đó, mỗi mệnh đề đại diện cho một thể hiện riêng biệt được thỏa mãn bởi một số phép gán. Trong so sánh, tổng số trường hợp khác nhau là 2 3 n .$2^{3^n-2^n}$$2^{3^n}$

Bây giờ sửa đổi ở trên cho các trường hợp trong đó mỗi mệnh đề có nhiều nhất chữ, có ∑ k i = 0 ($k$phân biệt các mệnh đề như vậy và∑ k i = 0 ($\sum_{i=0}^k \binom{n}{i}2^i$ điều khoản trong đó không có chữ tiêu cực, vì vậym≤Σ k i = 0 ($\sum_{i=0}^k \binom{n}{i}$cho các trường hợp thỏa đáng và mọimlớn hơnđều không thỏa mãn. Có sau đó2Σ k i = 0 ($m\le \sum_{i=0}^k \binom{n}{i}(2^i - 1)$$m$trường hợp thoả mãn bởi bất kỳ nhiệm vụ đặc biệt, trong tổng số2Σ k i = 0 ($2^{\sum_{i=0}^k \binom{n}{i}(2^i - 1)}$k-SAT trường hợp.$2^{\sum_{i=0}^k \binom{n}{i}2^i}$ $k$