Tiên đề cho những con đường ngắn nhất

Giả sử chúng ta có một đồ thị có trọng số vô hướng (với các trọng số không âm). Chúng ta hãy giả sử rằng tất cả các đường dẫn ngắn nhất trong là duy nhất. Giả sử chúng ta có các đường dẫn (các chuỗi các cạnh không có trọng số), nhưng không biết chínhChúng ta có thể tạo ra bất kỳ nào có thể đưa ra các đường dẫn này là ngắn nhất trong thời gian đa thức không? Phiên bản yếu hơn: chúng ta có thể quyết định trong thời gian đa thức nếu đó tồn tại không?$G = (V, E, w)$$G$$\binom{n}{2}$$G$$G$$G$

Điều kiện cần thiết rõ ràng là như sau: đối với mỗi cặp đường, giao điểm của chúng cũng là một đường dẫn. Điều kiện này có đủ không?

Tôi chỉ vấp phải câu hỏi cũ này trong khi tiến hành tìm kiếm sáng, và tình cờ gần đây tôi đã nhận được câu trả lời trong bài báo này mà tôi cũng có thể chia sẻ. Tôi hy vọng sự kết hợp của chủ đề cần thiết và tự quảng cáo là có thể tha thứ.

Chúng ta có thể tạo ra bất kỳ G nào có thể đưa ra các đường dẫn này là ngắn nhất trong thời gian đa thức không? Phiên bản yếu hơn: chúng ta có thể quyết định trong thời gian đa thức nếu G đó tồn tại không?

Câu trả lời là có cho cả hai. Thuật toán của Mohammad chắc chắn hoạt động, nhưng có một phương pháp nhanh hơn và trực tiếp hơn để tránh sự cần thiết phải chạy các phép lạ tách khối. Đặt là một đồ thị có trọng số vô hướng phụ, trong đó trọng số của mỗi cạnh là một số nguyên cho biết có bao nhiêu trong số đường dẫn trên đầu vào chứa cạnh đó. Bây giờ, hãy xem xét trường hợp lưu lượng đa dòng điện dung cạnh trên (diễn giải trọng số cạnh là công suất) trong đó mục tiêu là đẩy đồng thời 1 đơn vị dòng chảy giữa mỗi cặp nút. Rõ ràng, trường hợp luồng MC này có thể được thỏa mãn bằng cách đẩy luồng theo cách tự nhiên dọc theo các đường dẫn được đưa vào đầu vào. Hóa ra, người ta có thể chứng minh rằng của chúng tôi$H = (V, E, w')$$e \in E$$n \choose 2$$H$$n \choose 2$các đường dẫn là các đường dẫn ngắn nhất duy nhất trong một số khi và chỉ khi đây là cách duy nhất để đáp ứng thể hiện luồng MC. Chúng ta có thể kiểm tra tính duy nhất bằng cách thiết lập LP mà các ràng buộc là các ràng buộc thông thường đối với tính khả thi của luồng MC cộng với một hàm mục tiêu được chọn cẩn thận nhất định và các trọng số cạnh của thỏa mãn có thể được rút ra từ kép LP này.$G$$G$

Điều kiện cần thiết rõ ràng là như sau: đối với mỗi cặp đường, giao điểm của chúng cũng là một đường dẫn. Điều kiện này có đủ không?

Điều kiện này đôi khi được gọi là "tính nhất quán" (một tập hợp các đường dẫn là nhất quán nếu giao điểm của hai bất kỳ là một đường con của mỗi đường dẫn). Nó xuất phát từ trên rằng sự nhất quán là không đủ. Một trong hai mẫu đối lập nhỏ nhất được buộc là hệ thống mã màu sau đây gồm bốn đường dẫn trên sáu nút:

Nói cách khác, không có cách nào để gán trọng số cho 8 cạnh được mô tả ở đây để tất cả bốn đường dẫn này đồng thời là đường dẫn ngắn nhất duy nhất giữa các điểm cuối của chúng. Tuy nhiên, bất kỳ cặp nào trong số chúng giao nhau trên chỉ một nút, vì vậy chúng nhất quán (ngay cả khi chúng tôi điền chúng với một vài đường dẫn bổ sung theo đúng cách để có tổng cộng ). Có vô số phản mẫu như thế này; xem giấy cho một đặc tính.$n \choose 2$

Ba ý kiến ​​nhanh khác về tất cả điều này:

1. Các báo cáo tương tự mà bạn có thể hy vọng cho tất cả chỉ giữ tốt trong cài đặt của đồ thị có hướng chứ không phải là vô hướng,
2. Có một cách giải thích tô pô tốt đẹp của lý thuyết này dẫn đến một số hiểu biết và trực giác bổ sung về cách các đường dẫn ngắn nhất có thể được cấu trúc, và
3. Đối với một số lý do kỹ thuật, lý thuyết đơn giản hóa một cách thuận tiện trong việc thiết lập các DAG thay vì các đồ thị không định hướng hoặc (theo chu kỳ).

Bạn có thể viết vấn đề dưới dạng LP, phải không? Đối với hai đỉnh u, v và bất kỳ đường dẫn P nào từ u đến v, trọng số của P lớn hơn hoặc bằng trọng số của đường đi ngắn nhất đã cho giữa u và v. Đây đều là các bất đẳng thức tuyến tính, và mặc dù có theo cấp số nhân, vấn đề phân tách nằm ở P (đây chỉ là vấn đề đường đi ngắn nhất của tất cả các cặp). Vì vậy, bạn có thể sử dụng thuật toán Ellipsoid để giải quyết nó.