Độ phức tạp mạch đơn của các chức năng tính toán trên đầu vào thưa thớt

Trọng lượng $|x|$ của một chuỗi nhị phân $x\in\{0,1\}^n$ là số lượng các chuỗi trong chuỗi. Điều gì xảy ra nếu chúng ta quan tâm đến việc tính toán một hàm đơn điệu trên đầu vào với một vài cái?

Chúng ta biết rằng quyết định nếu một đồ thị có $k$ -clique là khó khăn cho các mạch đơn điệu (xem số những người khác Alon Boppana, 1987), nhưng nếu một đồ thị có ví dụ ở hầu hết $k^3$ cạnh nó có thể tìm thấy một giọng đều đều giáp mạch sâu của kích thước $f(k)\cdot n^{O(1)}$ mà quyết định $k$ -clique.

Câu hỏi của tôi: có bất kỳ chức năng nào khó tính toán bằng một mạch đơn điệu ngay cả trên các đầu vào có trọng lượng nhỏ hơn $k$ ? Phương tiện ở đây cứng kích thước mạch $n^{{k}^{\Omega(1)}}$ .

Thậm chí tốt hơn: có một hàm đơn điệu rõ ràng khó tính toán ngay cả khi chúng ta chỉ quan tâm đến đầu vào của trọng số và ? $k_1$ $k_2$

Emil Jerabek đã quan sát thấy rằng giới hạn thấp hơn biết giữ cho mạch đơn điệu mà tách hai lớp đầu vào ( -cliques vs tối đa đồ thị -colorable), do đó với chi phí của một số độc lập trong lập luận xác suất nó có thể làm cho nó làm việc cho hai lớp đầu vào của trọng lượng cố định. Điều này sẽ khiến là một hàm của mà tôi muốn tránh. $a$ $(a-1)$ $k_2$ $n$

Điều thực sự muốn là một hàm cứng rõ ràng cho và nhỏ hơn nhiều so với (như trong khung phức tạp tham số hóa). Thậm chí tốt hơn nếu . $k_1$ $k_2$ $n$ $k_1=k_2+1$

Lưu ý rằng một câu trả lời tích cực cho sẽ ngụ ý giới hạn dưới theo hàm mũ cho các mạch tùy ý. $k_1=k_2$

Cập nhật : Câu hỏi này có thể có liên quan một phần.

— MassimoLauria
nguồn

Đối với câu hỏi đầu tiên (chung) của bạn (không phải về Clique). Tôi nghĩ, ngay cả trường hợp đầu vào có nhiều nhất là

cái cũng rất khó. Lấy một đồ thị lưỡng cực

với

. Gán cho mỗi đỉnh

một biến boolean

. Hãy

là một đơn điệu Hàm boolean mà minterms là

cho các cạnh

của

. Hãy

2

$2$

n \times m

$n\times m$

G

$G$

m = o (n)

$m=o(n)$

u

$u$

x_{u}

$x_u$

f_{G} (x)

$f_G(x)$

x_{u} \land x_{v}

$x_u\land x_v$

u v

$uv$

G

$G$

là kích thước tối thiểu của mạch đơn điệu, tính toán chính xác

trên các đầu vào với

cái. Sau đó, bất kỳ ràng buộc thấp

cho một hằng số

sẽ bao hàm mộtmũthấp hơn bị ràng buộc đốinonmonotonemạch.

s (G)

$s(G)$

f_{G}

$f_G$

\leq 2

$\leq 2$

s (G) \geq (2 + c) n

$s(G)\geq (2+c)n$

c > 0

$c>0$

— Stasys

Hiện có lập luận cho mạch đơn điệu cần nhiều đầu vào với nhiều (

) những người phải từ chối . Điều tốt nhất chúng ta có thể làm như vậy cho đến nay là để chứng minh

thấp hơn bị ràng buộc khi mạch phải chấp nhận tất cả

-cliques, và từ chối tất cả hoàn thành

đồ thị -partite (

). Btw quan trọng là bạn đối phó với thưa thớt , không phải với đầu vào dày đặc . Nói,

≫ n / 2

$\gg n/2$

\exp (min {a, n / b}^{1 / 4})

$\exp(\min\{a,n/b\}^{1/4})$

b

$b$

a

$a$

a < b

$a<b$

k

$k$ -Clique yêu cầu các mạch đơn điệu có kích thước khoảng

với mọi hằng số

, nhưng

-Clique có các mạch đơn điệu có kích thước

cho mọi hằng số

n^{k}

$n^k$

k \geq 3

$k\geq 3$

(n - k)

$(n-k)$

O (n^{2} \log n)

$O(n^2\log n)$

k

$k$

— Stasys

Tôi nên làm rõ rằng tôi quan tâm đến đầu vào thưa thớt theo nghĩa đồ thị thưa thớt. Tìm kiếm một

-clique trong một biểu đồ rất thưa thớt (có thể nói là

cạnh) có thể được thực hiện ở kích thước mạch đơn điệu của FPT.

k

$k$

k^{10}

$k^{10}$

— MassimoLauria

Ví dụ của bạn trong bình luận đầu tiên là rất tốt đẹp. Nếu tôi hiểu chính xác thì đây là một vấn đề tương tự với các hàm đơn điệu, cứng trên trọng lượng cố định

. Sử dụng các hàm bổ sung giả để mô phỏng các đầu vào phủ định, độ phức tạp của mạch không khác nhau giữa trường hợp đơn điệu và không đơn điệu. Đối với hằng số (hoặc nhỏ)

phần bù giả này có thể được thực hiện hiệu quả bằng một mạch đơn điệu.

k

$k$

k

$k$

— MassimoLauria

bình luận đầu tiên của tôi dựa trên độ phức tạp của đồ thị. Hiện tượng "

" có thể được tìm thấy ở trang 13 của dự thảo này . Btw Tôi chưa hiểu ý bạn là gì khi "khó tính với k và 1 +"? (Tất nhiên là lỗi của tôi.)

(2 + c) n

$(2+c)n$

— Stasys

cụ thể xem xét một phần của câu hỏi (ví dụ: đối với = 1, = 2), Lokam đã nghiên cứu các hàm "2 lát" trong bài viết này và chứng minh rằng các giới hạn dưới mạnh mẽ trên chúng có thể được khái quát hóa, do đó đây là một điều rất khó vấn đề mở liên quan đến tách lớp phức tạp cơ bản & bất kỳ chức năng xây dựng / tường minh nào như vậy sẽ là một bước đột phá; từ bản tóm tắt: $k_1$ $k_2$

Hàm Boolean f được gọi là hàm 2 lát nếu nó ước lượng bằng 0 trên các đầu vào có ít hơn hai 1 và đánh giá thành một trên các đầu vào có nhiều hơn hai 1 giây. Trên các đầu vào có chính xác hai 1 f có thể được xác định không cần thiết. Có một sự tương ứng tự nhiên giữa các hàm 2 biểu đồ và đồ thị. Sử dụng khung độ phức tạp của đồ thị, chúng tôi chỉ ra rằng các giới hạn đơn điệu siêu tuyến tính đủ mạnh cho lớp hàm 2 lát cắt rất đặc biệt sẽ ngụ ý các giới hạn siêu đa thức trên cơ sở hoàn chỉnh cho các hàm nhất định xuất phát từ chúng.

Độ phức tạp của đồ thị và các hàm cắt / Satyanarayana V. Lokam, Tính toán lý thuyết. Hệ thống 36, 71 cạn88 (2003)

cũng như trong các bình luận của mình, SJ trình bày trường hợp tương tự này trong cuốn sách của mình trong phần khám phá sự phức tạp của các biểu đồ sec1.7.2.

Độ phức tạp của hàm Boolean: các tiến bộ và biên giới , Stasys Jukna

— vzn
nguồn