Biên độ của đồ thị khối ngẫu nhiên

Xét một đồ thị khối ngẫu nhiên được kết nối $G=(V,E)$ củacác đỉnh, được vẽ từ -reg (như được định nghĩa ở đây , tức là là chẵn và hai biểu đồ có cùng xác suất). $n =|V|$ $G(n, 3$ $)$ $3n$

Tất nhiên có có thể kiếm Chiều rộng đầu tiên, một cho mỗi bắt đầu nút . Một Chiều rộng tìm kiếm đầu tiên bắt đầu tại nút chuyển nhượng một mức độ cho mỗi node , nơi là khoảng cách giữa và trong . $n$ $s \in V$ $B_G$ $s \in V$ $d(s, v)$ $v \in V$ $d(s, v)$ $s$ $v$ $G$

Hãy để chúng tôi nói rằng Tìm kiếm Đầu tiên như vậy cũng chỉ định cấp cho mỗi cạnh . $B_G$

L (s, {u, v}) = max {d (s, u), d (s, v)}

$L(s, \{u,v\}) = \max\{ d(s,u), d(s,v) \}$

e = {u, v} \in E

$e=\{u,v\} \in E$

Đưa ra Tìm kiếm đầu tiên cụ thể , hãy cho là số cạnh đã được gán cấp và cho . Nói cách khác, là số cạnh của cấp chứa nhiều cạnh hơn bất kỳ cấp nào khác. Cuối cùng, chúng ta hãy là tối đa cho bất kỳ Searches Chiều rộng đầu tiên của . $B_G$ $\alpha(B_G,i)$ $i$ $\alpha(B_G) = max_i\{\alpha(B_G,i)\}$ $\alpha(B_G)$ $\alpha(G)$ $\alpha(B_G)$ $n$ $G$

Chúng ta hãy gọi $\alpha(G)$ các biên độ của $G$ .

Câu hỏi

Làm thế nào để giá trị mong đợi của $\alpha(G)$ tăng lên khi $n$ có xu hướng vô cùng? Nhớ lại rằng $G$ là khối ngẫu nhiên . Chính xác hơn, điều tôi thực sự muốn biết là liệu giá trị mong đợi của $\alpha(G)$ thuộc về $o(n)$ .

Kể từ khi $n$ là chẵn, giới hạn được coi là vì vậy mà tôi không quan tâm về lẻ $n$ 's.

graph-theory co.combinatorics

— Giorgio Quayani
nguồn

(1) Vui lòng xác định phân phối xác suất mà bạn vẽ biểu đồ khối của mình. (2) Bạn có quan tâm đến sự mong đợi của là một hàm của , hay cái gì khác? (3) Tôi cho rằng là chẵn (nếu không thì đồ thị khối không tồn tại). Vì vậy, tôi cho rằng giới hạn được coi là để bạn không quan tâm cho lẻ 's.

α (G)

$\alpha(G)$

n

$n$

n

$n$

n

$n$

— Yoshio Okamoto

@YoshioOkamoto: (1) Từ -reg như được định nghĩa trong stanford.edu/ class / msande337 / notes / (( là chẵn và hai biểu đồ có cùng xác suất). (2) Tôi đã làm phong phú câu hỏi để làm rõ điểm này. (3) Có, là chẵn và giới hạn được coi là vì vậy mà tôi không quan tâm về lẻ 's.

G (n, 3

$G(n, 3$

)

$)$

3 n

$3n$

n

$n$

n

$n$

— Giorgio Camerani

@SureshVenkat: Cảm ơn vì đã cải thiện khả năng đọc của câu hỏi ;-)

— Giorgio Camerani

Hãy để tôi nói rằng rất có thể có kết quả tập trung cho trên các biểu đồ khối ngẫu nhiên, có nghĩa là giá trị mong đợi, giá trị xác suất cao, v.v đều giống nhau. Trừ khi OP làm rõ, tôi nghĩ rằng một câu trả lời cho bất kỳ câu hỏi nào trong số này sẽ là câu trả lời hợp lý cho câu hỏi này.

α (G)

$\alpha(G)$

— Peter Shor

@WalterBishop: Cho tôi hỏi thêm một câu nữa. Làm thế nào để bạn xác định nếu bị ngắt kết nối?

α (G)

$\alpha(G)$

G

$G$

— Yoshio Okamoto

Câu trả lời:

Biên độ cho đồ thị giãn nở. Một đồ thị 3 thông thường ngẫu nhiên gần như không có biểu đồ chắc chắn là đồ thị giãn nở (xem Wikipedia) , do đó, kỳ vọng về biên độ sẽ là , vì xác suất không phải là đồ thị giãn nở sẽ về khi chuyển sang . $\alpha(n) = \Theta(n)$ $\Theta(n)$ $0$ $n$ $\infty$

Đối với một đồ thị nở với tham số , cho bất kỳ tập hợp đỉnh với , có các nước láng giềng của bộ này. Bây giờ, hãy để số đỉnh trên cấp là , với . Sau đó, chúng tôi có từ thuộc tính mở rộng miễn là không quá lớn (nghĩa là chúng tôi chưa bao gồm một nửa các đỉnh) Bây giờ, hãy tìm cấp độ có chứa đỉnh . Đó là, vì vậy và $\beta$ $s$ $s \leq n/2$ $\beta s$ $j$ $\ell_j$ $\ell_0=1$ $j$

ℓ_{j} \geq β \sum_{i = 0}^{j - 1} ℓ_{i}

$\ell_j \geq \beta\, \sum_{i=0}^{j-1} \ell_{i}$

ℓ_{j}

$\ell_j$

\frac{n}{3}

$\frac{n}{3}$

\sum_{i = 0}^{j - 1} ℓ_{i} < n / 3

$\sum_{i=0}^{j-1} \ell_i < n/3$

\sum_{i = 0}^{j} ℓ_{i} \geq n / 3

$\sum_{i=0}^{j} \ell_i \geq n/3$ . Nếu mức này lớn, tức là

, chúng ta đã hoàn thành. khác, cấp độ tiếp theo có kích thước và chúng ta xong rồi.

ℓ_{j} \geq n / 6

$\ell_j \geq n/6$

ℓ_{j + 1} \geq β \sum_{i = 0}^{j} ℓ_{i} \geq β \frac{n}{3},

$\ell_{j+1} \geq \beta \, \sum_{i=0}^{j} \ell_{i} \geq \beta \frac{n}{3},$

Mặc dù bằng chứng này xem xét số đỉnh trong một cấp chứ không phải số cạnh (mà OP đã hỏi), luôn có ít nhất nhiều cạnh được thêm vào trong bước là các đỉnh ở cấp , vì phải đạt được mỗi đỉnh bởi một số cạnh. $i$ $i$

— Peter Shor
nguồn

Cảm ơn câu trả lời của bạn! Đây là rất ngạc nhiên (ít nhất là với tôi): ngay cả khi tổng số cạnh là

, và số lượng các mức là

, mức độ đông đúc nhất vẫn còn

cạnh. Do đó, các cạnh không được phân tán đồng đều giữa các cấp độ: trực giác (thực nghiệm, sai) của tôi là, ngoại trừ một vài cấp độ ban đầu và một vài cấp độ cuối cùng, đáng lẽ phải có

m = 1.5 \cdot n \in Θ (n)

$m = 1.5 \cdot n \in \Theta(n)$

Ω (l o g (n))

$\Omega(log(n))$

Θ (n)

$\Theta(n)$

Ω (l o g (n))

$\Omega(log(n))$ các cấp trung tâm trong đó các cạnh sẽ được phân tán hơi đồng đều.

— Giorgio Camerani

với "thực nghiệm" bạn có nghĩa là bạn thực sự đã chạy thử nghiệm?

là khoảng

cho đồ thị ngẫu nhiên khối, xem ftp-sop.inria.fr/mascotte/personnel/Stephane.Perennes/Bol88.pdf

β

$\beta$

0.1845

$0.1845$

— didest

Có, tôi đã chạy thử nghiệm từ

cho đến

và đo số lượng

n = 100

$n = 100$

n = 150000

$n = 150000$

. Nếu

tiếp cận

khi

tăng, điều này sẽ đã đưa ra bằng chứng thực nghiệm rằng

. Khoảng

là khoảng

, trong khi khoảng

là khoảng

(tất nhiên tôi chưa bao giờ coi những con số này là bằng chứng thực nghiệm, bởi vì

vẫn còn quá nhỏ để biểu thị một tiệm cận). Tuy nhiên khi tôi nói "trực giác theo kinh nghiệm"

k = \frac{α (G)}{m}

$k = \frac{\alpha(G)}{m}$

k

$k$

0

$0$

n

$n$

α (G) \in o (n)

$\alpha(G) \in o(n)$

n = 100

$n=100$

k

$k$

0.3

$0.3$

n = 150000

$n=150000$

k

$k$

0.26

$0.26$

n = 150000

$n = 150000$

— Giorgio Camerani

... Tôi có nghĩa là một cảm giác thực sự (sai) chứ không phải là kết quả của các bài kiểm tra: Tôi phần nào cảm thấy rằng những BFS đó phải có hình dạng "xúc xích" (tức là nhỏ ở cực trị, và bị nhột liên tục ở giữa). "Họ phải như thế", tôi nghĩ. Bằng chứng trên cho thấy trực giác của tôi đã sai như thế nào. Tuy nhiên, tôi vẫn ngạc nhiên:

cạnh,

cấp, nhưng không

Θ (n)

$\Theta(n)$

Ω (l o g (n))

$\Omega(log(n))$

cạnh trên mỗi cấp độ.

O (\frac{n}{l o g (n)})

$O(\frac{n}{log(n)})$

— Giorgio Camerani

Câu trả lời của Peter Shor thực sự tốt, nhưng có một cách khác để trả lời điều này: chứng minh rằng treewidth bị giới hạn trên bởi hai lần biên độ (phiên bản đỉnh). Vì chúng tôi biết rằng các bộ mở rộng 3 thường xuyên có treewidth tuyến tính, chúng tôi đã hoàn thành.

Xem việc xây dựng một phân tách cây được cung cấp cho một cây BFS, nó trượt 15 phần trình bày này: http://www.liafa.jussieu.fr/~pierref/ALADDIN/MEETING2/soto.pdf

Thật dễ dàng để thấy rằng kích thước của mỗi chiếc túi được giới hạn trên hai lần mức rộng nhất.

— đã làm
nguồn

Cảm ơn câu trả lời của bạn, bài thuyết trình đó đã rất hữu ích.

— Giorgio Camerani