Giải phương trình tuyến tính diophantine

Hãy xem xét vấn đề sau:

Input : a siêu phẳng $H = \{ \mathbf{y} \in \mathbb{R}^n: \mathbf{a}^T\mathbf{y} = {b}\}$ , được đưa ra bởi một vector $\mathbf{a} \in \mathbb{Z}^n$ và $b \in \mathbb{Z}$ trong biểu diễn nhị phân thông thường.

$\mathbf{x} \in \mathbb{Z}^n = \arg \min d( \mathbf{x}, H)$

Trong ký hiệu trên cho và được định nghĩa là , tức là khoảng cách euclide tự nhiên giữa một tập hợp các điểm và một điểm duy nhất .$d(\mathbf{x}, S)$$\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n$$S \subseteq \mathbb{R}^n$$d(\mathbf{x}, S) = \min_{\mathbf{y} \in S}{\|\mathbf{x} - \mathbf{y}}\|_2$

Nói cách khác, chúng ta đã cho một siêu phẳng và chúng ta đang tìm kiếm điểm trong mạng nguyên gần với siêu phẳng nhất.

Câu hỏi là:

Sự phức tạp của vấn đề này là gì?

Lưu ý rằng thời gian đa thức ở đây sẽ có nghĩa là đa thức trong kích thước bit của đầu vào. Theo như tôi có thể thấy vấn đề là thú vị ngay cả trong hai chiều. Sau đó, không khó để thấy rằng chỉ đủ để xem xét các giải pháp đó $(x_1, x_2)$ với $0\leq x_1 \leq |a_1|/\mathsf{gcd}(a_1, a_2)$ nhưng đó là nhiều lựa chọn đa phương.

Một vấn đề liên quan chặt chẽ là giải một phương trình diophantine tuyến tính, tức là tìm một $\mathbf{x} \in \mathbb{Z}^n$ sao cho $\mathbf{a}^T\mathbf{x} = b$ hoặc xác định rằng không có $\mathbf{x}$ tồn tại. Vì vậy, việc giải một phương trình diophantine tuyến tính tương đương với việc xác định xem có tồn tại một giải pháp có giá trị 0 cho vấn đề tôi đã xác định ở trên không. Một phương trình diophantine tuyến tính có thể được giải quyết trong thời gian đa thức; trong thực tế, ngay cả các hệ phương trình diophantine tuyến tính cũng có thể được giải trong thời gian đa thức bằng cách tính toán dạng bình thường Smith của ma trận $\mathbf{A}$ đưa ra hệ thống. Có các thuật toán thời gian đa thức tính toán dạng bình thường Smith của một ma trận số nguyên, lần đầu tiên được đưa ra bởiKannan và Bachem .

Để có được trực giác về phương trình diophantine tuyến tính, chúng ta có thể xem xét trường hợp hai chiều một lần nữa. Rõ ràng, không có giải pháp chính xác nếu $\mathsf{gcd}(a_1, a_2)$ không phân chia $b$ . Nếu nó chia $b$ , thì bạn có thể chạy thuật toán GCD mở rộng để có hai số $s$ và $t$ sao cho $a_1s + a_2t = \mathsf{gcd}(a_1, a_2)$ và đặt $x_1 = sb/\mathsf{gcd}(a_1, a_2)$ và $x_2 = tb/\mathsf{gcd}(a_1, a_2)$ . Bây giờ bạn có thể thấy phiên bản gần đúng khác nhau như thế nào: khi $\mathsf{gcd}(a_1, a_2)$ không chia $b$ , làm thế nào để chúng tôi tìm thấy số nguyên $x_1, x_2$sao cho khoảng cách giữa $(x_1, x_2)$ và dòng $a_1x_1 + a_2x_2 =b$ được thu nhỏ?

Vấn đề với tôi nghe có vẻ giống như vấn đề vectơ gần nhất trong các mạng, nhưng tôi không thấy sự giảm rõ rệt từ vấn đề này sang vấn đề khác.

Được rồi, đã nghĩ về nó nhiều hơn tôi tin rằng tôi đã giảm rõ ràng từ vấn đề này sang GCD mở rộng; Tôi sẽ giải thích nó trong trường hợp , nhưng tôi tin rằng nó mở rộng đến tùy ý . Lưu ý rằng điều này tìm thấy một thu nhỏ khoảng cách đến siêu phẳng, nhưng không nhất thiết là nhỏ nhất (thực tế có vô số giá trị đạt được khoảng cách tối thiểu giống nhau) - Tôi tin rằng vấn đề sau là cũng khả thi, nhưng chưa cho nó bất kỳ suy nghĩ thực sự nào. Thuật toán dựa trên một vài nguyên tắc đơn giản:n = 2 n x $n=2$$n$ $\mathbf{x}$$\mathbf{x}$

• Nếu , thì tập hợp các giá trị được lấy bởi chính xác là ; hơn nữa, các giá trị và với có thể được tìm thấy một cách hiệu quả (đây chính xác là thuật toán Euclide mở rộng).g = G C D ( một 1 , một 2 ) một ⋅ x = một 1 x 1 + một 2 x 2 { 0 , ± g , ± 2 g , ± 3 g , ... } x 1 x 2 một 1 x 1 + a 2 x 2 = $g=\mathrm{GCD}(a_1, a_2)$$\mathbf{a}\cdot\mathbf{x} = a_1 x_1 + a_2 x_2$$\left\{0, \pm g, \pm 2g, \pm 3g, \ldots\right\}$$x_1$$x_2$$a_1 x_1 + a_2 x_2 = g$
• Khoảng cách tối thiểu từ siêu phẳng đến một điểm trên mạng là khoảng cách tối thiểu từ một điểm trên mạng đến siêu phẳng (rõ ràng, nhưng là một sự đảo ngược hữu ích của vấn đề).
• Khoảng cách từ một điểm đã cho đến siêu phẳng tỷ lệ thuận với(cụ thể, đó là lần giá trị này - nhưng vì nhân tất cả các khoảng cách với giá trị này không ảnh hưởng đến vị trí tối thiểu, chúng ta có thể bỏ qua hệ số chuẩn hóa).x a ⋅ y = b | một ⋅ x - b | 1 / | một $\mathbf{x}$$\mathbf{a}\cdot\mathbf{y} = b$$\left|\mathbf{a}\cdot\mathbf{x}-b\right|$$1/|\mathbf{a}|$

Điều này gợi ý các thủ tục sau đây:

• Tính , cùng với sao cho .g = G C D ( a 1 , a 2 ) x 0 1 , x 0 2 a 1 x 0 1 + a 2 x 0 2 = $g=\mathrm{GCD}(a_1,a_2)$$x^0_1, x^0_2$$a_1x^0_1+a_2x^0_2 = g$
• Tính và tính ; là khoảng cách tối thiểu (tỷ lệ) từ mạng tinh thể đến siêu phẳng. Đặt là hoặc ( , trừ khi là bội số của ) tùy thuộc vào mức nào đạt được khoảng cách tối thiểu.$r = \left\lfloor{b\over g}\right\rfloor$$d =\min(b-rg, (r+1)g-b)$$d$$s$$r$$r+1$$=\left\lceil{b\over g}\right\rceil$$b$$g$
• Tính và ; thì là bội số gần nhất của với , và do đóđạt tối thiểu khoảng cách này trên tất cả các điểm mạng.$x_1 = sx^0_1$$x_2 = s x^0_2$$\mathbf{a}\cdot\mathbf{x} = sg$$g$$b$$\left|\mathbf{a}\cdot\mathbf{x}-b\right|$

Theo tôi biết, quy trình chính xác sẽ hoạt động chính xác trong các kích thước tùy ý; chìa khóa là chiều GCD vẫn thỏa mãn sắc Bézout, và như vậy để tìm ra khoảng cách tối thiểu đến một điểm lưới bạn chỉ phải tìm bội số gần nhất của để .$n$$g$$b$