Trận đấu hoàn hảo trong một bàn cờ?

Hãy xem xét vấn đề tìm kiếm số hiệp sĩ tối đa có thể được đặt trên bàn cờ mà không có hai trong số họ tấn công lẫn nhau. Câu trả lời là 32: không quá khó để tìm thấy một kết hợp hoàn hảo (biểu đồ được tạo ra bởi các bước di chuyển của hiệp sĩ là lưỡng cực, và có một kết hợp hoàn hảo cho một bảng 4 × 4), rõ ràng là một nắp cạnh tối thiểu. Cũng không khó để chứng minh rằng câu trả lời là cho một bàn cờ bất cứ khi nào : nó đủ để hiển thị các trận đấu trong và làm một chút bước chân cảm ứng.m×nm,n≥33≤m,n≤$\left\lceil \frac{mn}{2} \right\rceil$$m \times n$$m,n \geq 3$$3 \leq m,n \leq 6$

Mặt khác, nếu bàn cờ hình xuyến và chẵn, bằng chứng thậm chí sẽ không yêu cầu hiển thị khớp cho các bảng nhỏ: bản đồ có chỉ các chu kỳ dài chẵn nên phải có một kết hợp hoàn hảo.( x , y ) → ( x + 1 , y + 2 $m, n$$(x, y) \rightarrow (x+1, y+2)$

Có bất kỳ tương đương cho bàn cờ hình chữ nhật , tức là có cách nào đơn giản hơn để chỉ ra rằng với đủ lớn luôn có một kết hợp hoàn hảo của bàn cờ không? Đối với các bảng lớn, bảng hình chữ nhật và bảng hình xuyến gần như tương đương theo nghĩa là tỷ lệ các cạnh bị thiếu bằng 0, nhưng tôi không biết bất kỳ kết quả lý thuyết nào có thể đảm bảo khớp hoàn hảo trong trường hợp đó.$m, n$

Điều gì sẽ xảy ra nếu, thay vì nhảy theo một trong hai hướng, một hiệp sĩ đã nhảy hình vuông theo một trong hai hướng? Hoặc, đối với vấn đề đó, hình vuông, với lẻ và coprime? Nếu có là một cách đơn giản để chứng minh rằng câu trả lời là cho đủ lớn (nói, ), những gì hiện nhìn như thế nào?( 2 , 3 ) ( p , q ) p + q p , $(1, 2)$$(2, 3)$$(p, q)$$p+q$$p, q$m,nm,n≥C(p,q)C(p,q$\left\lceil \frac{mn}{2} \right\rceil$$m, n$$m, n \geq C(p, q)$$C(p, q)$

Câu trả lời là KHÔNG với mọimlớn,nnếu vd:p=6vàq=3. Tại sao? Lưu ý rằng vì phần còn lạibây giờ biểu đồ là liên kết (đỉnh) tách rời của ba biểu đồ lưỡng cực và từ mỗi biểu đồ, chúng ta có thể chọn một nửa lớn hơn. Ví dụ: nếu, thì bằng cách này chúng ta có thể đặt (ít nhất) 5002 hiệp sĩ. (Điều này là docó sáu lớp nằm trong ba cặp, sự khác biệt giữa các số chính của các cặp là.)$\lceil \frac{mn}2\rceil$$m, n$$p=6$$q=3$$\mod 3$x + $m=n=100$1 , 1 , $x+y \mod 6$$1,1,2$

Tôi không biết điều gì xảy ra nếu chúng ta thêm điều kiện và là các số nguyên tố tương đối. (Lưu ý rằng ngoài 2 ước số này tương đương với và là các số nguyên tố tương đối, trên thực tế đây là điều kiện mà chúng ta cần và cũng cho thấy là số lẻ là cần thiết.)q p + q p - q p + $p$$q$$p+q$$p-q$$p+q$