Công thức CNF tương đương ngắn nhất

Đặt là Công thức CNF thỏa đáng với biến và mệnh đề . Đặt là không gian giải pháp của . $F_1$ $n$ $m$ $S_{F_1}$ $F_1$

Hãy xem xét vấn đề xác định, đưa ra , một Công thức CNF khác có cùng bộ biến như , với (cùng không gian giải pháp với ), nhưng càng ít mệnh đề càng tốt (chỉ có một mệnh đề càng tốt Mục đích là để giảm thiểu số lượng mệnh đề, vì vậy mỗi mệnh đề có thể có bao nhiêu chữ không liên quan). $F_1$ $F_2$ $F_1$ $S_{F_2} = S_{F_1}$ $F_1$

Câu hỏi

Có ai đã điều tra vấn đề này? Có bất kỳ kết quả trong các tài liệu liên quan đến nó?

Ví dụ: xem xét Công thức sau đây của CNF (mỗi hàng là một mệnh đề): $F_1$

$x_1 \lor x_2 \lor x_3$
$x_2 \lor x_3 \lor x_4$
$\lnot x_1 \lor x_2 \lor x_4$
$\lnot x_1 \lor x_2 \lor \lnot x_3$
$\lnot x_1 \lor x_3 \lor x_5$
$\lnot x_1 \lor x_2 \lor \lnot x_5$

và công thức sau : $F_2$

$x_1 \lor x_2 \lor x_3$
$x_2 \lor x_3 \lor x_4$
$\lnot x_1 \lor x_3 \lor x_5$
$\lnot x_1 \lor x_2$

cả hai đều có cùng một không gian giải pháp, nhưng trong khi có mệnh đề thì chỉ có mệnh đề . $F_1$ $6$ $F_2$ $4$

Cuối cùng, hãy xem xét công thức sau : $F_3$

$x_2 \lor x_3$
$\lnot x_1 \lor x_3 \lor x_5$
$\lnot x_1 \lor x_2$

Không gian giải pháp lại giống nhau, nhưng chỉ có mệnh đề. $3$

— Giorgio Quayani
nguồn

@tsuyoshi Tôi nghĩ rằng anh ấy muốn có được một công thức cnf được tạo thành từ số mệnh đề tối thiểu có cùng không gian giải pháp

— Tayfun Trả tiền vào

@TsuyoshiIto: Vâng, tôi muốn giảm thiểu số lượng mệnh đề. Tôi không đặt ra giới hạn về số lượng chữ mỗi mệnh đề có thể có.

— Giorgio Camerani

Đối với bất kỳ định nghĩa hợp lý nào về "nhỏ", vấn đề là NP-hard. Công thức CNF là thỏa đáng khi và chỉ khi nó không tương đương với công thức "Sai", có mệnh đề bằng không.

— Jeffε

Phần 6 của citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/ nam đề cập rằng vấn đề xác định liệu có một công thức CNF tương đương với nhiều nhất là một số lượng chữ nhất định là . Tôi không chắc chắn tôi hiểu tại sao phiên bản của bạn giảm thiểu số lượng mệnh đề lại thú vị, vì đây là một yếu tố của kích thước công thức, trong đó là số lượng biến.

Π_{2}^{p}

$\Pi_2^p$

n

$n$

n

$n$

— András Salamon

Ngoài ra, một kết quả gần đây khác có liên quan: dx.doi.org/10.1016/j.dam.2011.05.013

— András Salamon

Câu trả lời:

Vấn đề xác định liệu có một công thức CNF tương đương với nhiều nhất là một số lượng chữ nhất định hay không là . Phiên bản thu nhỏ số mệnh đề nằm trong hệ số của kích thước công thức, trong đó là số lượng biến. Xem phần 6 của: $\Pi_2^p$ $n$ $n$

Christopher Umans, Vấn đề DNF tương đương tối thiểu và các ứng dụng ngắn nhất , JCSS 63 (4), 597 Tiết611, 2001. doi: 10.1006 / jcss.2001.1775 ( in trước )

Một kết quả gần đây cho thấy việc tính toán một giới hạn thấp hơn cụ thể cho kích thước của công thức CNF tương đương ngắn nhất (được đo bằng số mệnh đề, như bạn chỉ định) là NP-đầy đủ. Bài viết này cũng nói rằng vấn đề tối thiểu hóa số mệnh đề của bạn là - hoàn thành, trích dẫn bài báo Umans ở trên, mặc dù tại sao điều này không rõ ràng ngay lập tức đối với tôi. $\Pi^p_2$

Các hàm Ondřej Čepek, Petr Kučera và Petr Savický, Boolean với một chứng chỉ đơn giản cho độ phức tạp CNF , DAM 160 (4 giật5), 365 mật382, 2012. doi: 10.1016 / j.dam.2011.05.013

— Salamás Salamon
nguồn

Các vấn đề mạch minization là khó (xem các ý kiến dưới đây). Ngoài ra, điều tôi nghĩ rằng bạn có thể quan tâm là kỹ thuật mà một số người giải SAT áp dụng (ít nhất là ở một mức độ nào đó) được gọi là tiền xử lý SAT. Ví dụ, bộ giải MiniSAT nổi tiếng sử dụng SatELite tối thiểu hóa CNF để xử lý trước một thể hiện. Google Scholar cũng cung cấp rất nhiều kết quả cho "tiền xử lý sat".

— Juho
nguồn

Tôi nghĩ rằng Hội trưởng và Umans năm 2008 đã giải quyết vấn đề tối thiểu hóa mạch là - hoàn thành, dưới mức giảm Turing?

Π_{2}^{p}

$\Pi^p_2$

— András Salamon

Umans đã chỉ ra vào năm 1998 rằng việc tìm ra một công thức CNF tương đương tối thiểu là ( dx.doi.org/10.1006/jcss.2001.1775 ). Bài báo András đề cập khái quát hóa điều này đến các mạch có chiều sâu lớn hơn.

Σ_{2}^{P}

$\Sigma^P_2$

— Jan Johannsen

giải pháp chính / tiêu chuẩn được biết đến để giảm thiểu CNF trong EE là thuật toán Quine-McCluskey có nhiều triển khai, một số miền công cộng. tuy nhiên sự hiểu biết của tôi là (không được đề cập trong bài viết trên wikipedia hiện tại) hầu hết trở lại các thuật toán heuristic và tham lam để tìm giải pháp đặc biệt cho các công thức lớn, tức là chúng không cần thiết. tìm giải pháp tối ưu đặc biệt. cho các trường hợp đầu vào lớn.

Quine-MCluskey là một khái quát về làm việc với các bản đồ Karnough mà sơ đồ có thể thành công trong các trường hợp nhỏ.

và lưu ý rằng có thể có nhiều giải pháp tối ưu theo các công thức tương đương có cùng kích thước mệnh đề (tối thiểu), điều này sẽ được chỉ ra trong một tài liệu tham khảo tốt trên subj. việc tìm kiếm mức tối thiểu rõ ràng làm giảm việc liệt kê tất cả các hàm ý nguyên tố có thể liên quan đến một vụ nổ theo cấp số nhân lớn trong bộ nhớ / "không gian" so với kích thước của công thức ban đầu.

— vzn
nguồn