Vấn đề cuộn chết

Chỉnh sửa: Tôi nghĩ rằng tinh thần của câu hỏi là tốt, nhưng nó cần phải được cải thiện. Các giả định được thực hiện cho việc tung đồng xu đã khiến câu hỏi đó trở nên tầm thường, và cuộn chết vẫn chưa được xác định chính xác.

Các giả định hợp lý chúng ta có thể đưa ra về một cuộn súc sắc làm cho câu hỏi trở nên dễ hiểu, nhưng không tầm thường? Nơi tốt nhất cho bất kỳ cuộc thảo luận nào có lẽ là trong trò chuyện.

Câu hỏi này được lấy cảm hứng và liên quan chặt chẽ đến vấn đề Super Mario Galaxy (SMG) .

Giả sử Mario đang đi trên bề mặt của một hành tinh. Nếu anh ta bắt đầu đi bộ từ một địa điểm đã biết, theo một hướng cố định, trong một khoảng cách định trước, chúng ta có thể xác định nơi anh ta sẽ dừng lại nhanh như thế nào?

Như một vượt qua đầu tiên, chúng tôi muốn đơn giản hóa câu hỏi càng nhiều càng tốt.

Câu hỏi 1

Giả sử chúng ta bắt đầu với một đầu đồng xu ngửa lên, ném nó với một số mô-men xoắn ban đầu và bắt lại nó sau thời gian t . Làm thế nào nhanh chóng chúng ta có thể xác định liệu đồng xu sẽ hạ cánh trên đầu hoặc đuôi?$T$$t$

Nói chính xác hơn, đồng xu là một hình trụ có chiều cao gần bằng 0 (không đáng kể so với bán kính của nó). Đồng xu sẽ quay với vận tốc góc không đổi ở một góc cố định trong một khoảng thời gian cố định. Vào cuối khoảng thời gian đó, chúng tôi đóng băng thời gian và không gian và kiểm tra vị trí của đồng tiền. Đây là những gì có nghĩa là "bắt" tiền. Có ba khả năng: đồng xu chính xác theo chiều dọc, với cạnh mỏng hướng chính xác lên. Để bây giờ, chúng tôi bỏ qua khả năng này. Do đó, nếu bạn nhìn vào đồng xu từ phía trên, bạn có thể thấy phía đầu hoặc phía đuôi. Bất kỳ phía nào có thể nhìn thấy từ phía trên tại thời điểm này là giá trị của cú ném.

Mô-men xoắn ban đầu và khoảng thời gian có nghĩa tương tự như Mario đi theo một hướng cố định cho một khoảng cách định trước. Sự khác biệt là thay vì đi dọc theo bề mặt của đa giác trong một khoảng cách nào đó, chúng ta đang để nó xoay tự do trong không gian cho một số radian cố định.

Câu hỏi 0

Nếu đồng xu quay quanh một trục cố định, giá trị của việc tung (bên của đồng xu nhìn từ phía trên) có định kỳ không? Như tôi đã xác định vấn đề ở trên, đồng xu có nhất thiết phải xoay quanh một trục cố định hay nó có thể xoay khó đoán hơn?

Như trong vấn đề SMG, chúng tôi muốn làm một điều gì đó thông minh hơn là "đi bộ" rõ ràng qua từng khuôn mặt khi đồng xu lật. Trong phiên bản đơn giản hóa rất nhiều của vấn đề này, tôi tin rằng điều này là có thể, bởi vì việc lật đồng xu phải là định kỳ.

Trong câu hỏi thứ hai, chúng tôi xem xét một hạn chế ít tầm thường hơn của vấn đề ban đầu.

Câu hỏi 2

Giả sử chúng ta cuộn một die n mặt từ một vị trí bắt đầu cho với một mô-men xoắn ban đầu cho , nhanh như thế nào chúng ta có thể xác định những gì sẽ là giá trị kết quả của các cuộn chết?$s$$T$

Chúng ta phải đưa ra một số giả định đơn giản hóa về cái chết, nếu không điều này trở thành vấn đề mô hình hóa vật lý nhiều hơn. Bây giờ, hãy giả sử rằng chúng ta lăn súc sắc như chúng ta sẽ tung đồng xu: chúng ta ném nó, cho nó một số vòng quay ban đầu, và sau một thời gian ngắn bắt lại nó, và bất kỳ mặt nào chạm mặt là giá trị của cú ném.

Phiên bản không trọng số của vấn đề cuộn chết là một hạn chế của vấn đề SMG ở chỗ con súc sắc phải là một đa giác thông thường, trong khi hành tinh mà Mario đi bộ có thể là bất kỳ đa giác lồi nào . Liệu sự hạn chế đối với các polytop thông thường làm cho vấn đề dễ dàng hơn?$P$

Câu 3

Ngay cả đối với một người chết thường xuyên, tôi không biết rằng chuỗi các khuôn mặt hướng lên sẽ là định kỳ, nhưng chúng ta có thể ước chừng cuộn chết theo trình tự định kỳ và do đó có được "dự đoán tốt nhất" về kết quả nhanh hơn chúng ta có thể Giải quyết vấn đề ban đầu? Tôi nghĩ câu trả lời rõ ràng là có, nhưng sự đánh đổi giữa chất lượng ước tính của chúng tôi và sự cải thiện trong thời gian hoạt động là gì?

Câu 4

Bây giờ giả sử chết có trọng số, do đó vận tốc của nó phụ thuộc vào khuôn mặt hiện tại. Theo thuật ngữ của vấn đề SMG ban đầu , điều này có nghĩa là tốc độ mà Mario đi bộ phụ thuộc vào khuôn mặt mà Mario hiện đang ở. Có thể một số phần của hành tinh có địa hình gồ ghề hơn những nơi khác.

Trước hết, tôi nghĩ rằng bạn có thể có nghĩa là xung lực góc và không phải mô-men xoắn. (Bạn có thể xem xung lực khi tổng hiệu ứng của mô-men xoắn được áp dụng trong một thời gian ngắn.) Nếu bạn bỏ qua lực cản của không khí, v.v., chuyển động của bất kỳ cơ thể cứng nhắc nào (và đặc biệt là một đồng xu hoặc khối lập phương) trong khung COM là rất đơn giản - nó chỉ quay với vận tốc góc không đổi.

Điều này làm cho vấn đề này loại tầm thường. Chỉ cần xoay cơ thể theo một góc về trục xoay và tìm mặt "hướng lên" theo bất kỳ định nghĩa hình học nào bạn muốn (nó không rõ ràng trong mô tả vấn đề của bạn). Nếu bạn đang xác định mặt trên của mình là mặt giao nhau với đường thẳng đứng đi qua gốc, mọi thứ thậm chí còn đơn giản hơn. Xoay đường thẳng theo góc về trục quay và tìm mặt giao nhau.$\omega t$$-\omega t$

Tôi không nói rằng vấn đề này là một mô hình tốt cho vấn đề SMG bởi vì trong SMG bạn có một điểm di chuyển với tốc độ không đổi trên bề mặt trong khi ở đây toàn bộ cơ thể sẽ quay với tốc độ góc không đổi, khiến vấn đề này trở nên đơn giản hơn rất nhiều .