Mô hình Solow: Trạng thái ổn định v Đường tăng trưởng cân bằng

11

Được rồi, vì vậy tôi đang gặp vấn đề thực sự khi phân biệt giữa khái niệm Trạng thái ổn định và con đường tăng trưởng cân bằng trong mô hình này:

Y = K^{β} (A L)^{1 - β}

$Y = K^\beta (AL)^{1-\beta}$

Tôi đã được yêu cầu rút ra các giá trị trạng thái ổn định cho vốn trên mỗi công nhân làm việc hiệu quả:

k^{*} = {(\frac{s}{n + g + δ})}^{\frac{1}{1 - β}}

$k^*=\left(\frac{s}{n+g+ \delta }\right)^{\frac{1}{1-\beta }}$

Cũng như tỷ lệ vốn ổn định của sản lượng (K / Y):

\frac{K^{S S}}{Y^{S S}} = \frac{s}{n + g + δ}

$\frac{K^{SS}}{Y^{SS}} = \frac{s}{n+g+\delta }$

Tôi đã tìm thấy cả hai điều tốt đẹp này, nhưng tôi cũng đã được yêu cầu tìm "giá trị trạng thái ổn định của sản phẩm cận biên của vốn, dY / dK". Đây là những gì tôi đã làm:

Y = K^{β} (A L)^{1 - β}

$Y = K^\beta (AL)^{1-\beta}$

M P K = \frac{d Y}{d K} = β K^{β - 1} (A L)^{1 - β}

$MPK = \frac{dY}{dK} = \beta K^{\beta -1}(AL)^{1-\beta }$

Thay thế cho K ở trạng thái ổn định (được tính khi làm việc ở trạng thái ổn định cho tỷ lệ K / Y ở trên):

K^{S S} = A L {(\frac{s}{n + g + δ})}^{\frac{1}{1 - β}}

$K^{SS} = AL\left(\frac{s}{n+g+\delta }\right)^{\frac{1}{1-\beta }}$

M P K^{S S} = = β (Một L)^{1 - β} {[Một L {(\frac{S}{n + g + δ})}^{\frac{1}{1 - β}}]}^{β - 1}

$MPK^{SS} = \beta (AL)^{1-\beta }\left[AL\left(\frac{s}{n+g+\delta }\right)^{\frac{1}{1-\beta }}\right]^{\beta -1}$

M P K^{S S} = = β {(\frac{S}{n + g + δ})}^{\frac{β - 1}{1 - β}}

$MPK^{SS} = \beta \left(\frac{s}{n+g+\delta }\right)^{\frac{\beta -1}{1-\beta }}$

Trước tiên tôi cần biết liệu phép tính này cho giá trị trạng thái ổn định của MPK có chính xác không?

Thứ hai, tôi đã được yêu cầu Phác thảo các đường thời gian của tỷ lệ vốn đầu ra và sản phẩm cận biên của vốn, cho một nền kinh tế hội tụ theo con đường tăng trưởng cân bằng "từ bên dưới".

Tôi đang gặp vấn đề trong việc hiểu chính xác con đường tăng trưởng cân bằng là gì, trái ngược với trạng thái ổn định và cách sử dụng các tính toán của tôi để tìm ra những biểu đồ này sẽ trông như thế nào.

Xin lỗi cho bài viết của voi ma mút, bất kỳ trợ giúp được đánh giá rất cao! Cảm ơn trước.

— James Baker
nguồn

14

Đây là khi nỗ lực ở độ chính xác tạo ra sự nhầm lẫn và hiểu lầm.

Trước đây, các mô hình tăng trưởng không kết hợp tiến bộ công nghệ và dẫn đến trạng thái cân bằng dài hạn được đặc trưng bởi cường độ bình quân đầu người không đổi . Bằng lời nói, thuật ngữ "trạng thái ổn định" có vẻ phù hợp để mô tả một tình huống như vậy.

Sau đó, Romer và các mô hình tăng trưởng nội sinh đã xuất hiện, điều này cũng thúc đẩy các mô hình cũ bắt đầu bao gồm như một đặc điểm thường thấy của các yếu tố tăng trưởng ngoại sinh (ngoài dân số). Và "đột nhiên", các điều khoản bình quân đầu người không phải là không đổi trong trạng thái cân bằng dài hạn, mà tăng trưởng với tốc độ không đổi . Ban đầu, tài liệu mô tả một tình huống như "trạng thái ổn định trong tốc độ tăng trưởng".

Sau đó, có vẻ như nghề nghiệp đã nghĩ một cái gì đó như "không chính xác khi sử dụng từ" ổn định "ở đây bởi vì cường độ bình quân đầu người đang tăng lên. Điều gì xảy ra là tất cả các cường độ đều tăng với tốc độ cân bằng (ví dụ như vậy, và tỷ lệ của chúng vẫn còn không đổi) Và kể từ khi chúng lớn lên, chúng đi theo một con đường ... "Eureka!: thuật ngữ" con đường tăng trưởng cân bằng "đã ra đời.

... Với sự thất vọng của sinh viên (ít nhất là), mà bây giờ phải nhớ rằng, ví dụ, "con đường yên ngựa" thực sự là một con đường trong sơ đồ Pha, nhưng "con đường tăng trưởng cân bằng" chỉ là một điểm! (bởi vì để thực sự vẽ sơ đồ Pha và đạt được trạng thái cân bằng dài hạn tốt, chúng tôi biểu thị cường độ cho mỗi công nhân hiệu quả và các cường độ này có trạng thái ổn định truyền thống. Nhưng chúng tôi tiếp tục gọi đó là "đường tăng trưởng cân bằng", bởi vì cường độ bình quân đầu người, đó là những gì chúng ta quan tâm, theo cách tiếp cận cá nhân của chúng ta), tiếp tục phát triển).

Vì vậy, "đường tăng trưởng cân bằng" = "trạng thái ổn định của cường độ trên đơn vị lao động hiệu quả" và tôi đoán bạn có thể tìm ra phần còn lại cho sơ đồ pha của mình.

— Alecos Papadopoulos
nguồn

4

Sau cuộc trò chuyện với người dùng @denesp theo nhận xét của câu trả lời trước đây của tôi, tôi phải làm rõ những điều sau: thiết bị đồ họa thông thường chúng ta sử dụng liên quan đến mô hình tăng trưởng Solow cơ bản (ví dụ ở đây , hình 2) không phải là sơ đồ pha, vì một cách hợp lý, chúng ta gọi là "sơ đồ pha", những cái có chứa các locus thay đổi bằng không, xác định các điểm giao nhau của chúng là các điểm cố định của hệ động lực và kiểm tra các đặc tính ổn định của chúng. Và đây không phải là những gì chúng tôi làm cho mô hình Solow. Vì vậy, nó đã bất cẩn sử dụng thuật ngữ từ phần của tôi.

$(y,k)$ $y=f(k)$

\dot{k} = = S y - (n + δ + g) k

$\dot k = sy - (n+\delta+g)k$

\dot{y} = = f_{k}^{'} (k) \cdot \dot{k}

$\dot y = f'_k(k)\cdot \dot k$

\dot{k} \geq 0 ⟹ y \geq \frac{n + δ + g}{S} k

$\dot k \geq 0 \implies y \geq \frac {n+\delta+g}{s} k$

\dot{y} \geq 0 ⟹ \dot{k} \geq 0

$\dot y \geq 0 \implies \dot k \geq 0$

$(y,k)$

$y$ $k$ $y$ $k$

— Alecos Papadopoulos
nguồn