Điều kiện đặt hàng đầu tiên để tối đa hóa lợi nhuận trong ngành công nghiệp cờ bạc

Tôi đang làm việc trên một mô hình tỷ lệ xuất chi tối ưu trong ngành công nghiệp cờ bạc.

Vì giá danh nghĩa của vé $ 1 luôn là $ 1, chúng tôi sử dụng chiến lược giá hiệu quả trong đó Q = $ 1 trong các giải thưởng đã giành được. Nếu một trò chơi trả 50%, giá hiệu quả là 2 đô la , vì đó là những gì cần phải bỏ ra để giành được 1 đô la giải thưởng dự kiến . Khá đơn giản phải không?

Chà, tôi đã xem chú thích này trong một số nghiên cứu và không thể hiểu làm thế nào họ đạt được Điều kiện đặt hàng đầu tiên để tối đa hóa lợi nhuận từ phương trình đầu tiên:

"Đặt biểu thị chi phí hoạt động như một hàm của đơn vị số lượng, trong đó một đơn vị số lượng được xác định là một đô la trong giá trị dự kiến ​​của giải thưởng.$C(Q)$

Lợi nhuận ròng của cơ quan xổ số được đưa ra bởi

$$N = PQ - Q - C(Q)$$

Trong đó là giá tính cho một đơn vị số lượng.$P$

Điều kiện đặt hàng đầu tiên để tối đa hóa lợi nhuận có thể được viết

$$-E_{PQ} = P(1 - C')/[P(1 -C')- 1]$$

Nếu chi phí hoạt động cận biên là % doanh thu và tỷ lệ xuất chi là %, chúng ta có và , ngụ ý rằng độ co giãn của cầu theo giá ở mức lợi nhuận tối đa là .50 P = 2 C ' = .12 - $6$$50$$P = 2$$C' = .12$$-2.3$

Để tăng tỷ lệ xuất chi để tăng lợi nhuận, phải vượt quá về giá trị tuyệt đối. "$E_{PQ}$$2.3$

- [Trích dẫn] Clotfelter, Charles T và Philip J Cook. "Về kinh tế xổ số nhà nước." Tạp chí viễn cảnh kinh tế: 105-19.

Trong phương trình FOC, là độ co giãn giá hiệu quả của cầu. Điều đó thường được tìm thấy bằng cách lấy đạo hàm của đối với trong phương trình đầu tiên. P $-E_{PQ}$$P$$Q$

Làm thế nào mà họ kết thúc nơi họ đã làm? Phải có một cái gì đó tôi đang thiếu.

Tôi đang gặp khó khăn trong việc hiểu làm thế nào đạt được Điều kiện đặt hàng đầu tiên cụ thể đó - cho dù đó là kết quả của một số quy trình phái sinh trên phương trình Doanh thu thuần, hoặc nếu nó chỉ đơn giản là một điều kiện bên ngoài được áp dụng.

Cảm ơn!

Biểu thức trong câu hỏi là trong chú thích của bài viết được tham chiếu. Đọc báo, chúng ta thấy rằng các biến quyết định ở đây là "tỷ lệ thanh toán", mà là nghịch đảo của P . Vì vậy, tương đương, chúng ta có thể giải quyết vấn đề tối đa hóa đối với P (và không phải viết Q ). Hơn nữa, "độ co giãn của cầu theo giá" liên quan đến đạo hàm của Q đối với P , và không phải là cách khác:$11$$P$$P$$Q$$Q$$P$

$$E_{PQ} = \frac {dQ/dP}{Q}P$$

và chúng tôi hy vọng nó là âm (giá cao hơn có nghĩa là tỷ lệ xuất chi thấp hơn dẫn đến nhu cầu về số lượng đo ở đây ít hơn, tức là "nhu cầu giải thưởng" ít hơn).

Chúng ta có thể viết các vấn đề tối đa hóa như

$$\max_{P}N = \max_{P}\left[P\cdot Q(P) - Q(P) - C(Q(P))\right]$$

Điều kiện đặt hàng đầu tiên là

$$\frac{\partial N}{\partial P} = Q + P\cdot Q' - Q' - C'\cdot Q' = 0 \tag{1}$$

Nhân lên trong suốt :$P/Q$

$$Q\frac PQ + P\cdot Q'\frac PQ - Q'\frac PQ - C'\cdot Q'\frac PQ = 0$$

$$\Rightarrow P +P\cdot E_{PQ} - E_{PQ} - C'\cdot E_{PQ}=0$$

$$\Rightarrow -E_{PQ} = \frac {P}{P-1-C'} \tag{2}$$

Điều này thật ý nghĩa. Cắm các giá trị được trình bày trong tài liệu tham khảo, chúng tôi có

$$-E_{PQ} = \frac {2}{2-1-.12} = \frac {2}{0.88} \approx 2.27$$

rất gần với giá trị kết quả từ phương trình được trình bày bởi các tác giả. Tôi đã không thể, bằng bất kỳ thao tác đại số nào tôi đã thử, để sao chép công thức của chúng, nhưng eq là chính xác trong mọi trường hợp. Nếu một sự hòa giải xuất hiện, tôi sẽ cập nhật.$(2)$