Tiện ích Quasilinear: Tối ưu hóa Pareto Ý nghĩa tối đa hóa tối đa hóa tiện ích?

Tôi đọc rằng nếu chúng ta có tiện ích quasilinear cho tất cả người tiêu dùng, thì bất kỳ phân bổ tối ưu pareto nào sẽ tối đa hóa tổng mức độ tiện ích của tất cả người tiêu dùng. Đó là:

$\textbf{What we know:}$

1) u^{i} (m^{i}, x^{i}) = m^{i} + ϕ^{i} (x^{i}) \forall i = 1, . . ., I

$1)\quad u^i(m^i,x^i)=m^i+\phi^i(x^i)\; \quad \forall i=1,...,I$

2) ϕ^{i} () is continous and strictly increasing (but not necessarily differentiable)

$2)\quad\phi^i(\;)\;\text{is continous and strictly increasing (but not necessarily differentiable)}$

3) An allocation, x satisfies \neg \exists \hat{x} s . t . {\hat{m}}^{i} + ϕ^{i} ({\hat{x}}^{i}) \geq m^{i} + ϕ (x^{i}) \forall i

$3)\quad \text{An allocation,}\,x\, \text{satisfies}\;\neg\,\exists\,\hat{x}\; s.t. \;\hat{m}^i+\phi^i(\hat{x}^i)\geq m^i+\phi(x^i)\;\forall i$

and {\hat{m}}^{i} + ϕ^{i} ({\hat{x}}^{i}) > m^{i} + ϕ (x^{i}) for some i

$\text{and} \quad \hat{m}^i+\phi^i(\hat{x}^i)> m^i+\phi(x^i)\,\text{for some}\,i$

$\textbf{What to show:}$

x solves m a x \sum_{i = 1}^{I} m^{i} + ϕ^{i} (x^{i})

$x\;\text{solves}\;max\sum_{i=1}^Im^i+\phi^i(x^i)$

Bất cứ ai có thể cung cấp một bằng chứng về điều này? Mọi sự trợ giúp sẽ rất được trân trọng!

$\textbf{Edit:}\,$ Tôi không biết nếu điều này là con đường đúng đắn, nhưng bằng tài sản tăng nghiêm ngặt của $\phi(\,)$ , sở thích đáp ứng không bão hòa cục bộ, ngụ ý rằng họ đáp ứng định lý phúc lợi đầu tiên. Bây giờ, nếu tôi có thể tìm ra liệu tất cả các phân bổ tối ưu pareto có phải là cân bằng cạnh tranh với tiện ích quasilinear hay không, tôi có thể tiếp tục làm gì đó!

microeconomics pareto-efficiency proof

— D CornerA
nguồn

Bạn có chắc chắn rằng

dưới

là giống như

dưới

? Một hạn chế về ngân sách / tài nguyên dường như bị thiếu. Và với điều đó, bạn sẽ có thể có được những gì bạn muốn bằng cách tính tổng bất đẳng thức trong (3) so với

m^{i}

$m^i$

{\hat{x}}^{i}

$\hat x^i$

m^{i}

$m^i$

x^{i}

$x^i$

i

$i$

— Herr K.

@ Xin chào. Đó là một điểm tuyệt vời và một sai lầm khá xấu hổ của tôi, tôi sẽ thay đổi điều đó

— DornerA 10/03/2016

Có thuộc tính nào cho chức năng của X không? Ví dụ: nếu nó tăng nghiêm ngặt nhưng lõm thì phân bổ PO trong đó một tác nhân lấy tổng tài sản sẽ mang lại tổng số tiện ích ít hơn, phân chia phân bổ đồng đều giữa hai tác nhân.

— 123

@ 123 không có giả định nào khác về

không may hơn những thứ được liệt kê ở trên không may

ϕ^{i} (\frac{}{})

$\phi^i(\frac{}{})$

— DornerA

Câu trả lời:

Chỉnh sửa: Trường hợp cạnh hút; Xem ý kiến. Xem thêm MWG Chương 10 phần C, D.

Giả sử phá được $(\vec x^*, \vec m^*)$

max \sum_{i = 1}^{I} m_{i} + ϕ_{i} (x_{i})

$\max \sum^I_{i=1} m_i + \phi_i(x_i)$

nhưng không tối ưu Pareto.

\begin{aligned} ⟹ \exists (x_{i}^{'}, m_{i}^{'}) s.t. & u_{i} (x_{i}^{'}, m_{i}^{'}) \geq u_{i} (x_{i}^{*}, m_{i}^{*}) \forall i = 1, \dots, I \\ u_{i} (x_{i}^{'}, m_{i}^{'}) > u_{i} (x_{i}^{*}, m_{i}^{*}) for some i \end{aligned}

$\begin{align} \implies \exists \ (x_i', m_i') \quad \text{s.t.} \quad & u_i(x_i', m_i') \geq u_i(x_i^*, m_i^*) \quad \forall \ i = 1,\cdots,I \\ & u_i(x_i', m_i') > u_i(x_i^*, m_i^*) \quad \text{for some} \ i \end{align}$

⟹ \sum_{i = 1}^{I} m_{i}^{'} + ϕ_{i} (x_{i}^{'}) > \sum_{i = 1}^{I} m_{i}^{*} + ϕ_{i} (x_{i}^{*})

$\implies \sum^I_{i=1} m'_i + \phi_i(x'_i) > \sum^I_{i=1} m^*_i + \phi_i(x^*_i)$

đó là một mâu thuẫn. Nếu chúng ta có một giải pháp cho vấn đề tối đa hóa tiện ích, thì nó phải là tối ưu Pareto.

(Lưu ý rằng đây là dạng thuộc tính liên tục và tăng của ) $\phi(\cdot)$

Giả sử là phân bổ tối ưu Pareto khả thi, nhưng không giải quyết được $(\vec x^*, \vec m^*)$

max \sum_{i = 1}^{I} m_{i} + ϕ_{i} (x_{i})

$\max \sum^I_{i=1} m_i + \phi_i(x_i)$

Bởi vì chúng tôi coi là và đang tăng nghiêm ngặt, chúng tôi biết không hòa cục bộ. Việc phân bổ Pareto phải khả thi. $m_i$ $\phi_i(\cdot)$ $u_i(\cdot)$

\exists (x_{i}^{'}, m_{i}^{'}) s.t. \sum_{i = 1}^{I} m_{i}^{'} + ϕ_{i} (x_{i}^{'}) > \sum_{i = 1}^{I} m_{i}^{*} + ϕ_{i} (x_{i}^{*}) ⟹ \sum_{i = 1}^{I} ϕ_{i} (x_{i}^{'}) > \sum_{i = 1}^{I} ϕ_{i} (x_{i}^{*})

$\exists \ (x_i', m_i') \quad \text{s.t.} \quad \sum^I_{i=1} m'_i + \phi_i(x'_i) > \sum^I_{i=1} m^*_i + \phi_i(x^*_i)\\ \implies \boxed{ \sum^I_{i=1} \phi_i(x'_i) > \sum^I_{i=1} \phi_i(x^*_i)}$

Nếu điều này là đúng bởi vì phân bổ thay thế này chỉ đơn giản mang lại cho một cá nhân nhiều hơn , đối với tất cả những thứ khác bằng nhau, thì phân bổ thay thế là không khả thi. Vì vậy, chúng tôi sẽ có một mâu thuẫn. $x$

Nếu điều này đúng bởi vì trong phân bổ thay thế, người khác được phân bổ nhiều hơn và chỉ một người khác được phân bổ ít hơn, thì phân bổ ban đầu sẽ không được tối ưu Pareto. Giả sử nó là. Nếu bạn đã thực hiện phân bổ ban đầu và thay đổi theo cách phân bổ mới, thì bạn sẽ cần một giao dịch tương ứng trong số tốt, , để giữ bất kỳ ai mất ít nhất ở cùng cấp độ tiện ích. Nhưng giao dịch chỉ trong số tốt không bao giờ có thể thay đổi tiện ích tổng hợp . Từ phân bổ ban đầu, nếu bạn có thể giao dịch cho $x$ $x$ $m$ $x$ $m$ $x$ và làm cho ai đó tốt hơn mà không làm tổn thương bất cứ ai, bạn không ở mức tối ưu Pareto và nếu bạn không thể đổi lấy để làm cho ai đó tốt hơn, bạn không thể tăng tiện ích tổng hợp, có nghĩa là phân bổ ban đầu là giải pháp cho vấn đề tối đa hóa. $m$ $x$

Logic này áp dụng cho dù bạn sắp xếp lại giữa nhiều người như thế nào . $x$

$\square$

— Kitsune Cavalry
nguồn

Tôi thấy rằng OP đã chấp nhận câu trả lời này nhưng điều này không chứng minh được đề xuất thực tế của anh ấy. OP tuyên bố rằng bất kỳ phân bổ PO nào cũng giải quyết được vấn đề tối đa hóa nhất định. Bằng chứng này cho thấy một giải pháp cho vấn đề tối đa hóa là PO. Tuy nhiên, kết quả này xuất phát ngay từ thực tế là chức năng tiện ích cho thấy rõ rằng các tùy chọn đáp ứng không bão hòa cục bộ. Và chúng tôi biết rằng không nhất thiết tồn tại một sự khuất phục giữa các điểm CE và PO. Mệnh đề ban đầu có thể sai, tùy thuộc vào các hạn chế được đặt trên chức năng của X. (Sử dụng điện thoại rất khó sử dụng LaTex - xin lỗi.)

— 123

Tôi không nghĩ rằng đề xuất này là đúng trong môi trường kinh tế trao đổi thuần túy tiêu chuẩn. Dưới đây là ví dụ về bộ đếm: economics.stackexchange.com/a/15146/11824

— Amit

@Amit Tôi nghĩ bạn đúng. Tuy nhiên, câu lệnh dường như được giữ với điều kiện được thêm rằng phân bổ PO sao cho tất cả người tiêu dùng : . Hoặc cách khác nếu sự cố cho phép các giá trị âm cho . Trong trường hợp này, ví dụ mẫu của bạn sẽ không phải là PO.

(x, m)

$(x,m)$

i

$i$

m_{i} > 0

$m_i>0$

m_{i}

$m_i$

— Giskard

@KitsuneCavalry Đây là một sai lầm: "Từ phân bổ ban đầu, nếu bạn có thể giao dịch cho và làm cho ai đó tốt hơn mà không làm tổn thương bất cứ ai, bạn sẽ không ở mức tối ưu Pareto và nếu bạn không thể giao dịch cho để thực hiện ai đó tốt hơn, bạn không thể tăng tiện ích tổng hợp ... "hoặc bạn không thể thực hiện giao dịch vì nó sẽ vi phạm một ràng buộc không tiêu cực. Boo, kẻ lừa đảo! : D Trả lại 50 điểm: D

m

$m$

x

$x$

m

$m$

x

$x$

— Giskard

@denesp Tôi đồng ý rằng kết quả giữ nếu chúng ta cho phép là bất kỳ số thực nào, hoặc chỉ số thực dương hoàn toàn, cho tất cả .

m_{i}

$m_i$

i

$i$

— Amit

Tôi không nghĩ đó là sự thật trong nền kinh tế trao đổi thuần túy tiêu chuẩn mà câu hỏi đang đề cập. Xem xét các ví dụ sau: Giả sử

$I = \{1,2\}$ và và . $u_1(x_1, m_1) = \sqrt{x_1} + m_1$ $u_2(x_2, m_2) = \sqrt{x_2} + m_2$

và để tập hợp phân bổ khả thi là

$\{((x_1, m_1), (x_2, m_2))\in\mathbb{R}^2_+\times\mathbb{R}^2_+: x_1+x_2 = 2, m_1+m_2 = 2 \}$ .

Lưu ý rằng phân bổ là hiệu quả Pareto, nhưng không tối đa hóa tổng số tiện ích. Lý do là phân bổ mang lại tổng tiền cao hơn. $a_1 = ((x_1, m_1), (x_2, m_2)) = ((2,2),(0,0))$ $a_2 = ((1,1),(1,1))$

$u_1(2,2) + u_2(0,0) = \sqrt{2} + 2 < 2 + 2 = u_1(1,1) + u_2(1,1)$ .

— Amit
nguồn

@DornerA suy nghĩ của bạn về điều này?

— Giskard

Tôi tin rằng bạn đang đề cập đến kết quả sau: Bất kỳ phân bổ PE nào đều tối đa hóa , nhưng thật khó để biết chính xác vì bạn không cụ thể về tính khả thi. $\sum_{i=1}^{I}\phi_{i}(x_{i})$

Hãy để tôi được cụ thể hơn. Với mỗi , . Phân bổ là . Tập phân bổ khả thi là . Tiện ích của từ là , trong đó đang tăng nghiêm ngặt. $i\in\{1,\ldots,I\}$ $(x_{i},m_{i})\in\mathbb{R}_{+}\times\mathbb{R}$ $a=(x_{i},m_{i})_{i=1}^{I}$ $F=\{(x_{i},m_{i})_{i=1}^{I}|(x_{i},m_{i})\in\mathbb{R}_{+}\times\mathbb{R}\forall i\in\{1,\ldots,I\},\sum_{i=1}^{I}x_{i}\leq c_{x},\sum_{i=1}^{I}m_{i}\leq c_{m}\}$ $i\in\{1,\ldots,I\}$ $a\in F$ $u_{i}(a)=m_{i}+\phi_{i}(x_{i})$ $\phi_{i}$

Định nghĩa phân bổ PE là tiêu chuẩn: là PE nếu sao cho cho tất cả và đối với một số . $a\in F$ $\nexists a'\in F$ $u_{i}(a')\geq u_{i}(a)$ $i$ $u_{i}(a')>u_{i}(a)$ $i$

Bây giờ tôi khẳng định rằng nếu là PE thì là giải pháp cho , hoặc, thực hiện tối đa hóa đối với s rõ ràng, st . $a$ $a$ $\displaystyle\max_{a\in F}\sum_{i=1}^{I}\phi_{i}(x_{i})$ $x_{i}$ $\displaystyle\max_{(x_{i})_{i=1}^{I}\in\mathbb{R}_{+}^{I}}\sum_{i=1}^{I}\phi_{i}(x_{i})$ $\sum_{i=1}^{I}x_{i}\leq c_{x}$

Tôi sẽ không chứng minh yêu cầu ở đây, nhưng ý tưởng chính là đơn giản và như sau. Giả sử là PE nhưng không giải quyết được vấn đề tối đa hóa. Sau đó, chúng ta có thể tìm thấy một khả thi khác sao cho . Đúng, trong , liên quan đến , các tác nhân đến tệ hơn, nhưng chúng ta có thể sử dụng tiền, s, để làm cho chúng hoạt động tốt như dưới , và vẫn còn với một số tiền vì chúng tôi đã tăng tổng số tiện ích đến từ s. $a^{*}$ $a'$ $\sum_{i=1}^{I}\phi_{i}(x_{i}')>\sum_{i=1}^{I}\phi_{i}(x_{i}^{*})$ $a'$ $a^{*}$ $m_{i}$ $a^{*}$ $x_{i}$

Một cách khác để nói điều này là tổng số tiện ích từ là . Bây giờ mọi phân bổ không lãng phí sẽ có thuật ngữ đầu tiên giống hệt nhau. $a\in F$ $\sum_{i=1}^{I}m_{i}+\sum_{i=1}^{I}\phi_{i}(x_{i})$ $a\in F$

Tuy nhiên, một cách khác để suy nghĩ về điều này là s xác định kích thước của chiếc bánh và tiền, s, xác định phân phối lại. Theo bán tuyến tính, việc giảm xuống một đơn vị và tăng bằng một đơn vị sẽ khiến không thay đổi. Điều này không đúng với và . $x_{i}$ $m_{i}$ $m_{i}$ $m_{j}$ $m_{i}+m_{j}$ $x_{i}$ $x_{j}$

Điều này cũng ngụ ý rằng bất kỳ nào giải quyết vấn đề tối đa hóa là PE. $a\in F$

— tháng một
nguồn

Bạn đã đọc hai câu trả lời khác? Một cơ bản nói như nhau. Cái khác cung cấp một ví dụ mẫu.

— Giskard

@denesp Có Tôi đọc câu trả lời và tôi đang nói điều khác. Hai câu trả lời đang nói về tối đa hóa tổng các tiện ích, tôi đang nói về tối đa hóa tổng từ s. Trong ví dụ ngược lại, giả định quan trọng là . Nếu cho , thì những gì tôi đang nói áp dụng. Giả định nào là 'tiêu chuẩn' là có thể tranh cãi. Tôi đã được đưa lên bởi MWG.

x_{i}

$x_{i}$

m_{i} \geq 0

$m_{i}\geq0$

\forall i \in {1, 2}

$\forall i\in\{1,2\}$

m_{i} \in R

$m_{i}\in\mathbb{R}$

i \in {1, 2}

$i\in\{1,2\}$

— Jan

Thêm một nhận xét, Mas-Colell, Whinston, Green chương 10, đặc biệt là phần C và thậm chí đặc biệt hơn là phần D, là cách xử lý tốt trong sách giáo khoa về vấn đề mà OP yêu cầu.

— Jan