Điều kiện quan hệ nghiêm ngặt theo đường chéo của Rosen

Hãy xem xét một trò chơi có người chơi, với không gian chiến lược , trong đó được đặt giới hạn và chức năng thanh toán của người chơi . Tình trạng Rosen ( Sự tồn tại JB Rosen và độc đáo của điểm cân bằng cho các trò chơi lõm n-người Econometrica, 33 (3):.. 520-534, 1965 ) cho tính độc đáo của Nash Equilibrium trong bang chơi n trò chơi mà equlibrium sẽ là duy nhất khi $n$ $S \subset \mathbb{R}$ $S$ $i$ $\pi_i:S^n \rightarrow \mathbb{R}$

hàm thanh toán là lõm trong chiến lược riêng $\pi_i(\textbf{s}) \; i \in N$
tại vectơ ( sao cho hàm được lõm theo đường chéo $\textbf{z}$ $(\forall i \in N)(z_i \geq 0)\ \wedge (\exists i \in N) (z_i >0)$ $\sigma(\mathbf{s}, \mathbf{z})=\sum_{i=1}^{n}z_i\pi_i({\textbf{s}})$

$N$ biểu thị tập hợp các cầu thủ.

Để xác định khái niệm độ dốc nghiêm ngặt chéo, nắm tay giới thiệu 'pseudogradient' của hàm , được định nghĩa bằng: Sau đó, hàm được cho là chiếm ưu thế theo đường chéo trong cho cố định nếu với mọi giữ sau: $\sigma$

\begin{aligned} g (s, z) = (\begin{matrix} z_{1} \frac{\partial π_{1} (s)}{\partial s_{1}} \\ z_{2} \frac{\partial π_{2} (s)}{\partial s_{2}} \\ . . . \\ z_{n} \frac{\partial π_{n} (s)}{\partial s_{n}} \end{matrix}) \end{aligned}

$\begin{align} g(\mathbf{s},\mathbf{z}) = \begin{pmatrix} z_1\frac{\partial \pi_1(\mathbf{s})}{\partial s_1} \\ z_2\frac{\partial \pi_2(\mathbf{s})}{\partial s_2} \\ ... \\ z_n\frac{\partial \pi_n(\mathbf{s})}{\partial s_n}% \end{pmatrix} \end{align}$

σ

$\sigma$

s \in S

$\mathbf{s} \in S$

z \geq 0

$\mathbf{z} \geq 0$

s^{0}, s^{1} \in S

$\mathbf{s}^0, \mathbf{s}^1 \in S$

\begin{aligned} (s^{1} - s^{0})^{'} g (s^{0}, z) + (s^{0} - s^{1})^{'} g (s^{1}, z) > 0 \end{aligned}

$\begin{align} (\mathbf{s}^1 - \mathbf{s}^0)'g(\mathbf{s}^{0}, \mathbf{z}) + (\mathbf{s}^0 - \mathbf{s}^1)'g(\mathbf{s}^{1}, \mathbf{z})>0 \end{align}$

Trong bài báo mà tôi đã trích dẫn lúc đầu, một điều kiện đủ để có thể lõm theo đường chéo là ma trận là phủ định phủ định cho , trong đó là Jacobian của pseudogradient đối với . Tôi sử dụng 'để biểu thị chuyển vị của một ma trận. Trực giác đằng sau điều kiện độ dốc nghiêm ngặt chéo là gì? $\sigma$ $\left[G(\mathbf{x}, \mathbf{z}) +G(\mathbf{x}, \mathbf{z})' \right]$ $\mathbf{s} \in S$ $G(\mathbf{x}, \mathbf{z})$ $g$ $\mathbf{s}$

game-theory nash-equilibrium

— Nidjsi
nguồn

Vì vậy, bạn muốn tìm tối đa . Nếu bị lõm theo đường chéo, bạn có thể làm như vậy bằng cách bắt đầu tại bất kỳ điểm nào và chỉ cần theo độ dốc cho đến khi bạn tìm thấy mức tối đa và bất kể bạn bắt đầu từ đâu, bạn sẽ luôn kết thúc tại cùng một điểm (Bắt đầu tại các điểm đen thấp hơn và theo hướng của độ dốc (hướng đi lên dốc nhất).). $\sigma(s,z)$ $\sigma$ $g(s,z)$

Tuy nhiên, nếu không lõm theo đường chéo, bạn có thể kết thúc ở các cực đại khác nhau bằng cách bắt đầu tại một điểm tùy ý và theo độ dốc (Thực hiện theo hướng đi lên dốc nhất bắt đầu từ hai chấm đen thấp hơn; tại hai điểm khác nhau.). $\sigma$

— muxamilian
nguồn

Cảm ơn câu trả lời của bạn! Những gì bạn viết về cơ bản là một trong những kết quả trong bài báo gốc của Rosen. Khi tôi nói trực giác tôi có nghĩa là tài sản nào của sự tương tác chiến lược trong trò chơi bị bắt bởi điều kiện hợp lệ nghiêm ngặt? Ví dụ: điều kiện này có nói lên điều gì đó về cách hành động của người chơi khác ảnh hưởng đến mức chi trả của người chơi hay hành động của người chơi đó ảnh hưởng đến mức chi trả của người chơi khác trong trò chơi hay không. Xin lỗi nếu tôi không đủ rõ ràng trong câu hỏi.

— Nidjsi