Tương đương mô hình LEN

Vị trí bắt đầu là một mô hình đại lý chính với thông tin không đầy đủ (rủi ro đạo đức) và các thuộc tính sau:

Tiện ích tác nhân: $u(z)=-e^{(-r_az)}$
Tiện ích chính: $B(z)=-e^{(-r_pz)}$
Mức độ nỗ lực $e\in \Bbb R$
Kết quả $x\in \Bbb R, x\sim N(\mu(e), \sigma), \mu'(e)>0, \mu''(e)\le0$
Hợp đồng: , $w(x)=a+bx$

Trong đó và là thước đo Mũi tên Pratt về sự không thích rủi ro tuyệt đối cho đại lý và hiệu trưởng tương ứng. $r_A$ $r_P$

Tôi đang tìm kiếm hợp đồng tối ưu cho hiệu trưởng để cung cấp cho đại lý khi không thể nhìn thấy nỗ lực của đại lý. Tiện ích của hiệu trưởng có thể được viết như sau:

U^{P} (e, a, b) = \int_{- \infty}^{\infty} - e^{(- r_{P} ((1 - b) x - a))} f (x ∣ e) d x

$U^P(e,a,b)=\int_{-\infty}^\infty-e^{(-r_P((1-b)x-a))}f(x\mid e) \, dx$

Tôi muốn chỉ ra rằng các mức tương đương sau đây có nghĩa là tối đa hóa tiện ích của hiệu trưởng có thể được viết dưới dạng RHS của tính tương đương sau:

max_{e, a, b} \int_{- \infty}^{\infty} - e^{(- r_{P} ((1 - b) x - a))} f (x ∣ e) d x \Leftrightarrow max_{e, a, b} (1 - b) μ (e) - a - \frac{r_{P}}{2} (1 - b)^{2} σ^{2}

$\max_{\rm e,a,b}\int_{-\infty}^\infty-e^{(-r_P((1-b)x-a))}f(x\mid e) \, dx \Leftrightarrow \max_{\rm e,a,b}(1-b)\mu(e)-a-\frac{r_P}2(1-b)^2\sigma^2$

trong đó là hàm mật độ của biến ngẫu nhiên bình thường , với giá trị mong đợi và phương sai . $f(x|e)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{(-\frac{1}2(\frac{x-\mu(e)}\sigma)^2)}$ $x\sim N(\mu(e),\sigma)$ $\mu(e)$ $\sigma>0$

Tôi đã cố gắng sử dụng hình thức rõ ràng của trong LHS, thao tác nó một chút và sau đó chuyển sang nhưng không thể có được sự tương đương. $f(x|e)$

expected-utility asymmetric-information principal-agent

— Fussc tối cao
nguồn

Vấn đề chính là các hiệu trưởng dự kiến tiện ích từ một khoản tiền có điều kiện trên một mức độ nhất định nỗ lực có thể được viết như $z$ $e$

E [z | e] - \frac{r_{p}}{2} Var (z | e) .

$\text{E}[{z}|e] - \frac{r_p}{2}\text{Var}(z|e).$

Nói cách khác, vì sự giàu có thường được phân phối, tiện ích theo cấp số nhân có biểu diễn 'phương sai trung bình' đơn giản. Đối với một dẫn xuất, xem ở đây .

Tôi cho rằng tiền thưởng của hiệu trưởng bằng . Sau đó, thật đơn giản để tính giá trị trung bình (có điều kiện) và phương sai của : $z$ $x - w(x) = (1 - b)x - a$ $z$

E [z | e] = (1 - b) E [x | e] - E [a] = (1 - b) μ (e) - a,

$\text{E}[z|e] = (1 - b)\text{E}[x|e] - \text{E}[a] = (1 - b)\mu(e) - a,$

Var [z | e] = (1 - b)^{2} Var (x | e) - Var (a) = (1 - b)^{2} σ^{2} .

$\text{Var}[z|e] = (1 - b)^2 \text{Var}(x|e) - \text{Var}(a)= (1 - b)^2\sigma^2.$

Theo sau đó, tiện ích dự kiến của hiệu trưởng có thể được viết là

(1 - b) μ (e) - a - \frac{r_{p}}{2} (1 - b)^{2} σ^{2} .

$(1 - b)\mu(e) - a - \frac{r_p}{2}(1 - b)^2\sigma^2.$