CES: chức năng sản xuất: co giãn thay thế

Tôi phải chứng minh rằng cho hàm sản xuất CES: $\sigma = 1/(1 + \rho)$

\begin{aligned} q = (l^{ρ} + k^{ρ})^{\frac{1}{ρ}} \end{aligned}

$\begin{align} q = (l^\rho + k^\rho)^\frac{1}{\rho} \end{align}$

Tôi phát hiện ra rằng tôi cần phải giải quyết các phương trình sau:

\begin{aligned} σ = \frac{\frac{d (k / l)}{k / l}}{\frac{d R T S}{R T S}} = \frac{d (k / l)}{d R T S} \frac{R T S}{k / l} = \frac{d (k / l)}{d ((k / l)^{1 - ρ})} \frac{(k / l)^{1 - ρ}}{k / l} \end{aligned}

$\begin{align} \sigma = \frac{\frac{d(k/l)}{k/l}}{\frac{dRTS}{RTS}} = \frac{d(k/l)}{dRTS}\frac{RTS}{k/l} = \frac{d(k/l)}{d((k/l)^{1-\rho})}\frac{(k/l)^{1-\rho}}{k/l} \end{align}$

Nhưng tôi chỉ không biết làm thế nào để viết lại biểu thức này để $\sigma = 1/(1 + \rho)$

production-function

— frankfranfrank
nguồn

Kiểm tra ví dụ cho sản xuất Cobb Douglas và cố gắng giải quyết nó cho CES. vi.wikipedia.org/wiki/Elasticity_of_substlation

— không biết gì

Các hàm sản xuất là: Các MPL và MPK lần lượt là:

q = (l^{ρ} + k^{ρ})^{\frac{1}{ρ}}

$q = (l^\rho + k^\rho)^\frac{1}{\rho}$

q_{l} = \frac{\partial q}{\partial l} = \frac{1}{ρ} \cdot (l^{ρ} + k^{ρ})^{\frac{1}{ρ} - 1} \cdot ρ \cdot l^{ρ - 1}

$q_l = \frac{\partial q}{\partial l} = \frac{1}{\rho} \cdot (l^\rho + k^\rho)^{\frac{1}{\rho}-1} \cdot \rho\cdot l^{\rho-1}$

tỷ lệ mà l có thể thay thế cho k là gì?

q_{k} = = \frac{\partial q}{\partial k} = = \frac{1}{ρ} \cdot ({tôi}^{ρ} + k^{ρ})^{\frac{1}{ρ} - 1} \cdot ρ \cdot k^{ρ - 1}

$q_k = \frac{\partial q}{\partial k} = \frac{1}{\rho} \cdot (l^\rho + k^\rho)^{\frac{1}{\rho}-1} \cdot \rho\cdot k^{\rho-1}$

Trong trường hợp là một hàm giá trị thực khả vi của một biến duy nhất, chúng ta định nghĩa hệ số co giãn của f (x) đối với x (tại điểm x) là $f$

σ (x) = = \frac{x f^{'} (x)}{f (x)} \equiv \frac{\frac{d f (x)}{f (x)}}{\frac{d x}{x}}

$\sigma(x) = \frac{x f'(x)}{f(x)}\equiv \frac{\frac{df(x)}{f(x)}}{\frac{dx}{x}}$

Thực hiện thay đổi các biến sao cho ( ) và ( ) $u = ln(x)$ $\rightarrow x = e^u$ $v=ln(f(x))$ $\rightarrow f(x) = e^v$
Lưu ý rằng và $v' = f'(x) / f(x)$ sao cho $u'=\frac{1}{x}$ $\frac{v^{'}}{{bạn}^{'}} = = \frac{\frac{f^{'} (x)}{f (x)}}{\frac{1}{x}} = = σ (x)$ $\frac{v'}{u'}=\frac{\frac{f'(x)}{f(x)}}{\frac{1}{x}} = \sigma(x)$
$\frac{d ln f(x)}{d ln(x)}$ $\frac{d ln f(x)}{d ln(x)} = \frac{d v}{d u}$ $\frac{d v}{d bạn} = = \frac{d v}{d x} \cdot \frac{d x}{d bạn} = = \frac{f^{'} (x)}{f (x)} \cdot x$ $\frac{d v}{d u} = \frac{d v}{d x} \cdot \frac{d x}{d u} = \frac{f'(x)}{f(x)} \cdot x$ $\sigma(x)$

Bây giờ hãy giải quyết vấn đề đàn hồi của bạn.

tôi n (\frac{q_{k}}{q_{tôi}}) = = tôi o g (\frac{\frac{1}{ρ} \cdot ({tôi}^{ρ} + k^{ρ})^{\frac{1}{ρ} - 1} \cdot ρ \cdot {tôi}^{ρ - 1}}{\frac{1}{ρ} \cdot ({tôi}^{ρ} + k^{ρ})^{\frac{1}{ρ} - 1} \cdot ρ \cdot k^{ρ - 1}}) = = tôi n (\frac{tôi}{k})^{ρ - 1} = = (ρ - 1) tôi n (tôi / k) = = (1 - ρ) tôi n (k / tôi)

$ln(\frac{q_k}{q_l})= log(\frac{\frac{1}{\rho} \cdot (l^\rho + k^\rho)^{\frac{1}{\rho}-1} \cdot \rho\cdot l^{\rho-1}}{\frac{1}{\rho} \cdot (l^\rho + k^\rho)^{\frac{1}{\rho}-1} \cdot \rho\cdot k^{\rho-1}}) = ln (\frac{l}{k})^{\rho-1} = (\rho-1) ln (l/k) = (1 - \rho) ln (k/l)$

\Rightarrow tôi n (k / tôi) = = \frac{1}{1 - ρ} \cdot tôi n (\frac{q_{k}}{q_{tôi}})

$\Rightarrow ln (k/l) = \frac{1}{1-\rho} \cdot ln(\frac{q_k}{q_l})$

$\sigma = \frac{1}{1-\rho}$

— BKay
nguồn

\frac{1}{ρ}

$\frac{1}{\rho}$

ρ

$\rho$