Trên họa tiết Bà Exponential vs Cô Hyperbolic

Tôi đã đi qua mục đích ngụ ngôn nhỏ này để cho thấy tại sao chiết khấu theo cấp số nhân lại vượt trội hơn so với chiết khấu hyperbol ¹ :

Cúi đầu lớn hơn [của đường cong chiết khấu hyperbol] có nghĩa là nếu một công ty khai thác hyperbol tham gia giao dịch với ai đó đã sử dụng đường cong theo cấp số nhân, cô ấy sẽ sớm được miễn tiền. Chẳng hạn, bà Exponential có thể mua áo khoác mùa đông của bà Hyperbolic với giá rẻ, bởi vì khoảng cách đến mùa đông tới sẽ làm giảm giá trị của bà H so với bà E. Cô E sau đó có thể bán lại chiếc áo khoác cho cô H vào mỗi mùa thu khi cách tiếp cận của mùa đông khiến giá trị của cô H tăng vọt.

Con số mà đoạn trích đề cập đến trông giống như hình bên dưới, điểm khác biệt đáng chú ý nhất là tôi đã thêm chú thích để chỉ ra đường cong nào là ² , cùng với dạng phân tích của các hàm chiết khấu thực tế được sử dụng ³ .

Nhưng dường như đối với tôi, lập luận, như đã trình bày ở trên, là giả mạo. Rõ ràng là việc định giá của ai sẽ bị trầm cảm hơn, phụ thuộc vào thời gian. Do đó, cùng một lập luận chính xác với vai trò của cô E và cô H đảo ngược, sẽ có tác dụng cho bất kỳ mốc thời gian nào giữa điểm mà đường cong giao nhau và trục tung.

Trong thực tế, đối với các lựa chọn hệ số nhất định cho các đường cong hyperbol và hàm mũ, đường cong hàm mũ bị suy giảm nhiều hơn so với đường cong hyperbol đối với mọi thời điểm . Ví dụ:

Nó chỉ ra rằng đường cong hàm mũ màu xanh lá cây ở trên giao với đường cong hyperbol chỉ với một giá trị của , cụ thể là (tức là tại thời điểm được chỉ định bởi trục tung). Đối với tất cả , đường cong hàm mũ màu xanh lá cây nằm ngay dưới đường hyperbol.t = 0 t < $t$$t = 0$$t < 0$

Điều này có nghĩa là, nếu đường cong chiết khấu theo cấp số nhân của cô E là màu xanh lá cây, thì cô H sẽ có thể nhanh chóng vô hiệu hóa cô bằng cách áp dụng chiến lược được mô tả trong đoạn trích, và điều này sẽ đúng cho dù độ dài của khoảng thời gian giữa việc mua và bán lại áo khoác mùa đông .

Tóm lại, theo lập luận của đoạn trích về tính ưu việt của chiết khấu theo cấp số nhân so với chiết khấu hyperbol không giữ nước, theo ý kiến ​​của tôi.

Bây giờ, tôi nhận ra rằng đoạn trích không đặc biệt nghiêm ngặt, và có thể có một cách thuyết phục hơn để chứng minh tính ưu việt của chiết khấu theo cấp số nhân so với chiết khấu hyperbol. Nếu vậy, nó là cái gì? Cụ thể, tôi muốn biết những điều sau:

Làm thế nào một người sử dụng chiết khấu theo cấp số nhân có thể tận dụng lợi thế tài chính đơn phương của một người sử dụng chiết khấu hyperbol?

(Bằng cách đơn phương, tôi muốn nói rằng chiến lược này chỉ dành cho những người sử dụng chiết khấu theo cấp số nhân một người nào đó sử dụng chiết khấu hyperbol chứ không phải ngược lại .)

^{1 Tài liệu tham khảo tôi có cho đoạn văn này là Phân tích ý chí (2001) của George Ainslie (trang 30-31). Tôi không có cuốn sách, mặc dù.}

^{2 Tôi đã thêm các nhãn "hyperbolic" và "lũy thừa", theo cách giải thích của tôi về ý nghĩa của tác giả bằng cách "cúi đầu lớn hơn". Tôi không phải là người nói tiếng Anh bản địa, vì vậy hãy sửa cho tôi nếu cách giải thích này ngược.}

^{3 Lưu ý rằng tất cả các hàm này có là miền của chúng. Lựa chọn này là bắt buộc để phù hợp với sự xuất hiện của các đường cong ban đầu. Ngoài ra, tôi nên nhấn mạnh rằng các dạng hàm tôi sử dụng cho tất cả các đường cong này là của tôi riêng, được chọn để gần đúng sự xuất hiện của các đường cong ban đầu. Văn bản của đoạn trích không đưa ra hình thức chức năng của các đường cong được mô tả.$(-\infty, 0]$}

Tôi tin rằng máy bơm tiền hoạt động như thế này:

Tại vay một trăm đô la từ Henry, bộ giảm âm hyperbol trong khoảng thời gian toàn thời gian . Lãi suất nên bằng 0 vì lãi suất chiết khấu của họ so với các khoản vay trong thời gian đó là . Để đơn giản, hãy biến nó thành một khoản vay coupon bằng 0, với khoản thanh toán đến hạn và giả sử cả hai bạn đồng ý rằng chúng không có rủi ro tín dụng. Bây giờ bước về phía trước một khoảng thời gian để . Đề nghị bán lại khoản vay cho Henry. Tỷ lệ chiết khấu của anh ta bây giờ là nên lãi suất thấp hơn mức anh ta sẽ tính cho một khoản vay mới nên giá phải cao hơn mệnh giá. Gọi giá . Bán, xé khoản vay và bỏ túit 1 T = ε $T=0$$t$$1$$T=\epsilon$100+ψ1ψ1$\frac{1}{1-\epsilon} < 1$$100 + \psi_1$$\psi_1$. Yêu cầu khoản vay mới trị giá một trăm đô la, một lần nữa với phiếu giảm giá bằng 0, hiện tại với lãi suất mỗi kỳ. Bước về phía trước một khoảng thời gian khác để . Một lần nữa, để bạn có thể bán nghĩa vụ này quá nhiều hơn mệnh giá ( ). Thực hiện bán hàng, xé khoản vay và bỏ túi . Rửa sạch, rửa và lặp lại cho đến khi họ không có một trăm đô la để cho bạn mượn. T=2ε$\frac{1}{1-\epsilon}$$T = 2 \epsilon$ 1+ψ2ψ$\frac{1}{1-2\epsilon} < \frac{1}{1-\epsilon}$$1 + \psi_2$$\psi_2$

Cập nhật: Hy vọng đây là một ví dụ đơn giản hơn. Những gì bạn làm là trong mỗi giai đoạn mua T (T 2) một trái phiếu từ công cụ phát hiện Hyperbolic của Henry. Bạn cũng bán lại cho Henry trái phiếu bạn đã mua trong giai đoạn trước. Bạn sẽ sẵn sàng làm điều này miễn là khoảng thời gian đủ ngắn để lợi nhuận trên giao dịch đủ cao để bù cho tỷ lệ chiết khấu của chính bạn.$\geq$

Hãy xem xét một trái phiếu 2 năm với các ưu đãi ở trên. Tỷ lệ chiết khấu 2 năm là nhỏ hơn tỷ lệ chiết khấu 1 năm . Eddy, người phát hiện theo cấp số nhân sẵn sàng cho Henry vay tiền vì lợi nhuận của khoản vay đó đủ cao để bù đắp cho anh ta, mặc dù tỷ lệ ưu tiên thời gian của anh ta cho cả khoản vay 1 và 2 năm cao hơn Henry.$\frac{1}{3}$$\frac{1}{2}$