Tính chất quasiconvexity của hàm tiện ích gián tiếp

Trong Mas-Colell, Whinston và Green's Microeconomics, họ định nghĩa chức năng tiện ích gián tiếp, $ v (p, w) $ như

$$ v (p, w): = u (x ^ *) $$

Trong đó $ x ^ * \ in x (p, w) $ giải quyết vấn đề tối đa hóa tiện ích.

Họ tuyên bố một thuộc tính của $ v (p, w) $ là quasiconvexity, tức là tập hợp

$$ \ {(p, w): v (p, w) \ leq \ bar {v} \} $$

là lồi cho bất kỳ $ \ bar {v} $.

Chỉ trang trước khi họ nói rằng độ lồi của sở thích ngụ ý rằng $ u (\ đạn) $ là quasiconcave , vì vậy câu hỏi của tôi là tại sao khi chúng ta nhìn vào mức tối đa của $ u $, thì đó là tài sản quasiconcave (không thể nghĩ ra từ nào tốt hơn) cho quasiconvexity?

Các chức năng và các biến của chúng là khác nhau, do đó không có "biến dạng" hoặc lật.

Hàm tiện ích $ u $ ánh xạ từ không gian của hàng hóa $ X $ đến $ \ mathbb {R} $ là lồi và quasiconcave.

Hàm tiện ích gián tiếp $ v $ ánh xạ từ không gian giá thành $ \ mathbb {R} $ là quasiconvex.

Trực giác:
$ u $: Nếu bạn trung bình hai gói tiêu dùng, tiện ích của bạn không thấp hơn mức trung bình của tiện ích của hai gói. Thay vì chỉ ăn thịt một ngày và chỉ rau vào ngày khác bạn thích trộn những thứ này hàng ngày.

$ v $: Nếu vectơ giá là $ p $ một ngày và $ p '$ vào ngày khác, bạn có thể tốt hơn so với nếu đó là $ \ frac {p + p'} {2} $ mỗi ngày. Thật dễ dàng để kiểm tra rằng bất cứ thứ gì bạn có thể mua theo chế độ giá thứ hai, bạn cũng có thể mua theo thứ nhất. Tuy nhiên, có thể có các gói tiêu dùng mà bạn chỉ có thể mua theo chế độ giá đầu tiên.