thống trị thứ hai ngẫu nhiên mà không có cùng ý nghĩa

Đặt và là hai phân phối có cùng giá trị trung bình. được cho là thứ hai thống trị một cách ngẫu nhiên ( SOSD ) nếu cho tất cả tăng và lõm . $F$ $G$ $F$ $G$

\begin{matrix} (1) & \int u (x) d F (x) \geq \int u (x) d G (x) \end{matrix}

$\int u(x)\mathrm dF(x)\ge \int u(x)\mathrm dG(x)\tag{1}$

u (\cdot)

$u(\cdot)$

Định nghĩa trên này tương đương với

\begin{matrix} (2) & \int_{- \infty}^{x} F (t) d t \leq \int_{- \infty}^{x} G (t) d t, \forall x \in R . \end{matrix}

$\int_{-\infty}^x F(t)\mathrm dt\le \int_{-\infty}^xG(t)\mathrm dt,\qquad\forall x\in\mathbb R.\tag{2}$

Tôi được cho biết rằng yêu cầu và có cùng một nghĩa là không thực sự cần thiết. Giả sử và làm không có giá trị trung bình tương tự. Chúng ta vẫn có thể có sự tương đương giữa và chứ? $F$ $G$ $F$ $G$ $(1)$ $(2)$

NB Tôi đã có thể hiển thị mà không cần điều kiện trung bình tương tự, nhưng không phải là cách khác. $(2)\Rightarrow (1)$

microeconomics probability

— Herr K
nguồn

Đặt đang tăng và lõm. Sau đó, điều kiện xác định của SOSD đọc $u(x) = x$

\begin{matrix} (1) & \int x d F (x) \geq \int x d G (x) ⟹ E_{F} (X) \geq E_{G} (X) \end{matrix}

$\int x\mathrm dF(x)\ge \int x\mathrm dG(x) \implies E_F(X) \geq E_G(X) \tag{1}$

.. những gì sẽ mâu thuẫn với trường hợp sẽ được cho phép theo một định đề "phương tiện khác nhau" chung. Mặt khác, chúng ta thấy rằng điều kiện "cùng nghĩa" có thể bị vi phạm bởi điều kiện xác định cho chính SOSD. Điều đó cho chúng ta những gì? $E_F(X) < E_G(X)$

1) Đó là một điều kiện cần thiết cho để SOSD . $E_F(X) \geq E_G(X)$ $F$ $G$

2) ... Và do đó, yêu cầu " và có cùng một nghĩa" hạn chế sai việc áp dụng khái niệm về SOSD. $F$ $G$

— Alecos Papadopoulos
nguồn