Cân bằng Nash trong một trò chơi thương lượng

Tôi đã có một câu hỏi để hỏi về trò chơi Nhu cầu Nash từ bài tập của tôi.

Sarah và Ruth tìm thấy 100 đô la trên mặt đất và quyết định chia nó giữa họ theo cách sau. Mỗi cá nhân đồng thời và độc lập chọn bao nhiêu trong số 100 đô la mà cô ấy muốn giữ. Suy ra giá trị này bằng . Nếu , sau đó mỗi người chơi nhận được số tiền cô mong muốn. Nếu , họ bị mất những 100, và mỗi người chơi nhận được 0. Tìm tất cả các điểm cân bằng Nash. Giải thích cách bạn đi đến kết luận của mình (nghĩa là làm thế nào bạn biết rằng câu trả lời của bạn là đầy đủ.) $xi$ $𝑥𝑆+𝑥𝑅≤100$ $𝑥𝑆+𝑥𝑅>100$

Tôi nghĩ rằng tôi đã giải quyết được tinh khiết Chiến lược Nash Equilibrium cho trò chơi này đó là cơ bản . Nhưng tôi đang tự hỏi liệu có bất kỳ Chiến lược hỗn hợp nào cân bằng Nash không, vì vậy nếu có ai có thể giúp tôi thì tôi sẽ rất cảm kích! :) $𝑥𝑆+𝑥𝑅=100$

game-theory nash-equilibrium

— Tiếng Nga
nguồn

Đó không phải là một điểm cân bằng, vì nó không cho biết mỗi người chơi chọn bao nhiêu. Gợi ý: bắt đầu từ một điểm (một chiến lược cho mỗi). Sau đó xem có ai có động cơ để đi chệch hướng không, cho rằng những người khác dính vào chiến lược đó.

— BB King

Ý tôi là {Ruth: Xr; Sarah: 100-Xr} và {Ruth: 100-X; Sarah: Xs} vì vậy tôi đặt phương trình đó xuống cho đơn giản. Cảm ơn anw! :)

— Russljd

Cân bằng Nash là một cặp chiến lược . Vì vậy, câu trả lời của bạn cần đưa ra hai chiến lược. Định nghĩa không chính thức là " cặp chiến lược đáp ứng tốt nhất cho nhau ".

Vì vậy, có một chiến lược tùy ý; giả sử mỗi người chơi chọn 50. Có ai có thể đạt được bằng cách chơi 51 hoặc 49 không? Không, vì vậy (50, 50) là ĐB. Giống như phương trình của bạn nói, bất kỳ hai chiến lược nào có tới 100 tạo nên một PSNE. Bởi vì không thể có độ lệch lợi nhuận cho bất kỳ ai trong hai người chơi (bằng chứng là tầm thường; cho thấy rằng chơi ít hơn sẽ ít hơn và chơi nhiều hơn, cung cấp ít hơn cho bất kỳ cặp chiến lược nào thêm tới 100)

Bây giờ về MSNE. Một cách tốt để bắt đầu suy nghĩ về nó là thực hiện một chiến lược tùy ý và chơi xung quanh nó. Bạn sẽ không tìm thấy MSNE theo cách này.

Một cách khác để tìm kiếm chúng là tìm ra điểm mà hai chiến lược khiến người chơi thờ ơ giữa các lựa chọn của họ và cũng là những phản hồi tốt nhất. Tôi chỉ có thể tìm thấy điều này trong trường hợp đối xứng.

$( a_1, a_2 )$ $a_1+a_2 = 100$ $P(a_1) = a_1/a_2$ $a_1 < a_2)$ $(10, 90)$ $(11.111, 88.888)$ $10$ $90$

Tôi không tìm thấy bất kỳ trường hợp nào khác của MSNE, ngay cả sau khi làm việc.

— Matt
nguồn

Làm thế nào về việc chơi đồng đều với hỗ trợ {0,100}? Và những gì về phân phối không đồng đều?

— Giskard

Điều này khá rõ ràng đối với trường hợp đầu tiên bạn đề cập rằng phản hồi tốt nhất là chơi "thuần túy" 50. Đối với các bản phân phối không đồng đều, chúng tôi cần một cái gì đó mà cả hai người chơi đều thờ ơ giữa các tùy chọn của họ. Ví dụ: đồng phục {99,98} khiến người ta thờ ơ giữa việc chơi bất kỳ kết hợp 1 và 2 nào, nhưng {99, 98} sẽ không phản hồi tốt nhất cho bất kỳ chiến lược nào vì vậy nó sẽ không tạo MSNE.

— Matt

Cảm ơn bạn rất nhiều. Tôi hiểu nó bây giờ! Phần trên a1 / a2 rất ngộ haha.

— Russljd

Oh thực sự không nên xác suất là a1 / (a1 + a2) thay vào đó để người chơi thờ ơ giữa 10 và 90? Chẳng hạn, mức chi trả gấp 10 lần xác suất 0,9 nên bằng với mức chi trả gấp 90 lần xác suất 0,1 do đó cả hai khoản chi trả là như nhau.

— Russljd

Câu trả lời ban đầu của tôi là sai. Tôi đã chỉnh sửa nó; Tôi đã tìm thấy MSNE trong các trường hợp không đồng nhất trong đó các chiến lược là đối xứng và hành động của người chơi tổng cộng là 100. Tôi không biết nếu có nhiều hơn nữa. Cảm ơn các đầu vào.

— Matt